复变函数第一节复数项级数复数列的极限一、二、级数的概念三、典型例题四、小结与思考U
一、复数列的极限 二、级数的概念 第一节 复数项级数 三、典型例题 四、小结与思考
复变函数一、复数列的极限1.定义设{α,}(n=1,2,)为一复数列,其中αn=an+ibn，又设α=a+ib为一确定的复数如果任意给定8>0,相应地都能找到一个正数N(),使αn-α<ε在n>N时成立那末α称为复数列{α当n→8时的极限记作limα,=α.n-00此时也称复数列α，收敛于αU
2 一 、复数列的极限 1.定义 如果任意给定 0,相应地都能找到一个正 数 N( ), 使 在 n N 时成立, n 那末 称为复数列 { }当n 时的极限, n 记作 lim . n n 此时也称复数列 { }收敛于. n 设{ n } (n 1,2,)为一复数列,其中 , n n n a ib 又设 a ib 为一确定的复数
复变函数2.复数列收敛的条件复数列{α,}(n=1,2,)收敛于α的充要条件是lima,=a,limb..= b.nn>00证如果limαn=α，那末对于任意给定的ε>0n-就能找到一个正数N，当n>N时.(an +ibn) -(a +ib)<,U
3 2.复数列收敛的条件 复数列{ n }(n 1,2,)收敛于 的充要条件是 lim a a, lim b b . n n n n lim , n n 如果 那末对于任意给定的 0 就能找到一个正数N, 当n N 时, (a ib ) (a ib) , n n 证
复变函数从而有an-a≤(an-a)+i(bn-b)<,所以同理lima, = a.lim b, = b.n-n-→8反之,如果lim b, = b,liman =a,n-→n>00c-2c-b-b那末当n>N时,an-a<<22U
4 a a (a a) i(b b) , 从而有 n n n lim a a. n n 所以 lim b b. n n 同理 . 2 , 2 an a bn b 反之, 如果 lim a a, lim b b, n n n n 那末当 n N 时
复变函数从而有αn-α=(an +ibn)-(a +ib)= (an -a) + i(bn - b)≤an-a+bn-b<s,所以limαn = α.[证毕]n00定理一说明：可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性U
5 从而有 (a ib ) (a ib) n n n (a a) i(b b) n n 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim . n n 所以 [证毕] a a b b , n n