复变函数第二节柯西一古萨基本定理一、问题的提出二、 基本定理三、典型例题四、小结与思考u
第二节 柯西－古萨基本定理 一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
复变函数一、问题的提出观察上节例1.被积函数 f(z)= z 在复平面内处处解析此时积分与路线无关观察上节例4，被积函数当n=0时为z-zo它在以为中心的圆周C的内部不是处处解析的此时dz=2元i±0.CZ- Zou
2 一、问题的提出 观察上节例1, 被积函数 f (z) = z 在复平面内处处解析, 此时积分与路线无关. 观察上节例4, , 1 0 0 z z n − 被积函数当 = 时为 , 它在以z0 为中心的圆周C的内部不是处处解析的 = c − z i z z d 2 0. 1 0 此 时
复变函数虽然在除去Z的C的内部函数处处解析但此区域已不是单连通域被积函数f(z)=z=x-iy观察上节例5.由于不满足柯西一黎曼方程，故而在复平面内处处不解析此时积分值zdz与路线有关由以上讨论可知，积分是否与路线有关，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性
3 观察上节例5, 被积函数 f (z) = z = x − iy, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内 处处不解析. 此时积分值 zdz与路线有关. c . , 0 但此区域已不是单连通域 虽然在除去z 的C 的内部函数处处解析 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可 能决定于被积函数的解析性及区域的连通性
复变函数二、基本定理柯西一古萨基本定理柯西介绍古萨介绍如果函数,f(z)在单连通域B内处处解析那末函数,f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为零：f f(z)dz = 0.定理中的C可以不是简单曲线。B此定理也称为柯西积分定理u
4 B 二、基本定理 柯西－古萨基本定理 : ( )d 0. ( ) ( ) , = c f z z f z B C f z B 的积分为零 那末函数 沿 内的任何一条封闭曲线 如果函数 在单连通域 内处处解析 C 定理中的 C 可以不是简 单曲线. 此定理也称为柯西积分定 理. 柯西介绍 古萨介绍
复变函数关于定理的说明：(1)如果曲线C是区域B 的边界，函数 f(z)在B内与C上解析,即在闭区域B=B+C上解析那末f. f(z)dz = 0.(2)如果曲线C是区域 B 的边界，函数 f(z)在B内解析，在闭区域B=B+C上连续，那末定理仍成立1
5 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z)在 B内与C 上解析, 即在闭区域B = B + C 上解析, = c 那末 f (z)dz 0. (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z)在 B内解析, 在闭区域B = B + C 上连续, 那末 定理仍成立