《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第三章 复变函数的积分 3.6 第六节 高阶导数

复变函数第六节高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考U

第六节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考

复变函数问题的提出、问题：(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答：(1)解析函数有各高阶导数(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示，这与实变函数完全不同解析函数高阶导数的定义是什么？面

2 一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么?

复变函数二、主要定理定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数它的n阶f(z)n!导数为: f(n)(zo)=dz.(n = 1,2,..)-2元il(z-z0)n+其中C为在函数,f(z)的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭线，而且它的内部全含于D证设 z为D内任一点，先证n=1的情况,u

3 二、主要定理 定理 , . ( ) d ( 1,2, ) ( ) ( ) 2π ! : ( ) ( ) , 0 1 0 0 ( ) D C f z D z z n z z f z i n f z f z n C n n 任何一条正向简单闭曲线 而且它的内部全含于 其 中 为在函数 的解析区域 内围绕 的 导数为 解析函数 的导数仍为解析函数它 的 阶 =  − =  + 证 , 设 z0 为D内任一点 先证n = 1的情况

复变函数f(zo + △z) - f(zo)根据导数的定义,(zo)=limAzAz>0f(z)dz,从柯西积分公式得 f(zo)2元i JC z - Zof(z)dz,f(zo + △z) =2元i Jc z - Zo - △zf(zo +△z) - f(zo)Azf(z)f(z)dz.dz -JCJC2元△ziZz7. - Zo7U

4 根据导数的定义, z f z z f z f z z  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 从柯西积分公式得 d , ( ) 2 1 ( ) 0 0   − = C z z z f z i f z d , ( ) 2 1 ( ) 0 0   − −  +  = C z z z z f z i f z z z f z z f z  ( +  ) − ( ) 0 0 d , ( ) d ( ) 2 1 0 0       − −  − −  = C C z z z f z z z z z f z zi

复变函数f(z)dz.2 元i Jc (z - zo)(z - Zo - △z)△zf(z)f(z)dzdz +2mife(2-20(0-20-A2)22元iJc(z zo)=1△f (z)16dz2元c(z - zo)(z - zo - △z)△zf(z)10ds<2元Jc / - z 0 - z0 - Azl因为,f(z)在C 上解析，所以在C 上连续U

5   − − −  = C z z z z z z f z i d ( )( ) ( ) 2 1 0 0   − − −    +  − = C C z z z z z z zf z i z z z f z i d ( ) ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1 0 2 0 2 0 = I  − − −    = C z z z z z z zf z I d ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0  − − −     C s z z z z z z f z d ( ) 2 1 0 2 0 因为 f (z)在C 上解析, 所以在 C 上连续