复变函数第五节木柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考U
第五节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
复变函数一、问题的提出设B为一单连通域，Z为B中一点f(z)在 z不解析.如果 f(z)在B内解析,那末Z- Zof(z)S所以dz一般不为零ICZ-ZoC为B内围绕Zo的闭曲线根据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值u
2 一、问题的提出 , . 设 B为一单连通域 z0 为B中一点 d , ( ) 0 C − z z z f z 所以 一般不为零 . ( ) ( ) , 0 0 如果 在 内解析 那末 在 z 不解析 z z f z f z B − 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. . C 为 B内围绕 z0 的闭曲线
复变函数积分曲线C取作以为中心,半径为很小的的正向圆周一zo=S,由,f(z)的连续性在C上函数 f(z)的值将随着s的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值f(z)f(zo)d将接近于dz.(S缩小)JCZ-ZoZ-Zof(zo)dz= f(zo)fcdz 2元if(z01CZ - Zoz. - Zo1
3 , , 0 0 z − z = C z 的正向圆周 积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 由 f (z)的连续性, , ( ) 接近于它在圆心 0 处的值 在 上函数 的值将随着 的缩小而逐渐 z C f z d . ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 将接近于 缩小 C − C − z z z f z z z z f z C − z z z f z d ( ) 0 0 d 2 ( ). 1 ( ) 0 0 0 z if z z z f z C = − =
复变函数二、柯西积分公式定理如果函数 f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含那末于D，Zo 为C内任一点ff(z)dz.f(zo) =2元 i Jc z - ZoD证因为f(z)在zo 连续则 >0, S()>0,u
4 二、柯西积分公式 定理 − = C z z z f z i f z D z C f z D C D d . ( ) 2π 1 ( ) , , , ( ) , 0 0 于 0 为 内任一点 那 末 内的任何一条正向简单闭曲线 它的内部完全含 如果函数 在区域 内处处解析 为 z0 D 证 因为 f (z)在 z0 连续, C 则 0, ( ) 0
复变函数当-zol<时， f(z)-f(zo)<.设以Z为中心,半径为R(R<)的正向圆周K：z－zo= R全在C的内部( d=f)则fe12ddzJKz-Zo( d +f (2)(2n)=fkdzZ. - ZoZ - ZoRDf(z)- f(zo)= 2元if(z0) + fkdzZ- Zou
5 z0 D C K , 当 z − z0 时 ( ) ( ) . 0 f z − f z , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K − = R C − z z z f z d ( ) 0 则 − = K z z z f z d ( ) 0 − − + − = K K z z z f z f z z z z f z d ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 0 − − = + K z z z f z f z if z d ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0