由梯形公式推出的预一校方法： 儿-g=2Ucy+f小 → 「ya+1=yn+hf(xn,yn) y=.+fx,+f….川 预-校方法又称为修正的Euler法，算法如下 ki=f(xn,yn), k2=fxn+1,ynt h k1), yat=yn+lk+k2l 6
6 ( , ) ~ n n n n y y hf x y 1 )] ~ [ ( , ) ( , 2 n1 n n n n1 n1 f x y f x y h y y 1 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 n n n n n n h y y f x y f x y 预-校方法又称为修正的Euler法,算法如下 k1 = f(xn , yn ) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1), [ ] 2 1 1 2 k k h y y n n 由梯形公式推出的预-校方法:
n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05 误差2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004 误差1 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256 1.5 2 1.5 O000e 0.5 0.5 0 0 -1 0 3 -1 0 3 5 预-校方法，h=0.2时 欧拉方法， h=0.2时 误差最大值：0.0123 误差最大值：0.1059 7
7 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 预-校方法, h=0.2时 误差最大值: 0.0123 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05 误差2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004 误差1 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256 欧拉方法, h=0.2时 误差最大值: 0.1059
局部載断误差 设ym=y(cn),称Rn+1y(化+1)-y+1为局部截断误差. 由泰勒公式 y(x)=y(x)+(x-x)y(x)+au-x) y"(传) 2】 即 h' xa)=x)+f(xy)+2(5) Euler公式： yn+=ynt hf (xn yn) Euler公式的局部截断误差 y(xn+1)-yn+=y(xn)-yn+O(h2)=O(h2) 8
8 设 yn = y(xn ), 称 Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差. ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 y x x y x y x x x y x n n n n n n n ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) 2 1 y h y x y x hf x y n n n n 即 由泰勒公式 Euler公式: yn+1 = yn+ hf (xn , yn ) Euler公式的局部截断误差 y(xn+1) – yn+1=y(xn ) – yn+ O(h2) = O(h2)
收敛性分析 y(n+1)-yn+i=y(xn)-yn+O(h2) 定义：若一种数值方法对于任意固定的xm=xo+nh,当 h→0（同时n→oo)时，有ymy化），则称该方法是收敛 的.下面分析欧拉显式公式的收敛性： ynti=yn+hf(xn,yn) 1=y(x)+hf(x,y(x)) 单步计算的局部截断误差y(心m+1)一)+1为： h2 Wx)-万1=2y(5) 即存在常数C使en+1<Ch2. 9
9 ：若一种数值方法对于任意固定的xn =x0+nh，当 h→0（同时n→∞）时，有yn→y(xn )，则称该方法是 的. 设 下面分析欧拉显式公式的 ： 1 ( , ) n n n n y y hf x y 1 ( ) ( , ( )) n n n n y y x hf x y x 单步计算的 误差 y( xn1 ) yn1 为： 2 '' 1 1 ( ) ( ) 2 n n h y x y y 即存在常数C使 en+1< Ch2 . y(xn+1) – yn+1=y(xn ) – yn+ O(h2)
考虑无ymy化)条件下的整体截断误差： en+1=y(x+1)-y+l 由于 y(x)-yy(xi)+ 而 F-y=y(x)-yn+hf(xn>y(x,))-h(f(xy)) 若常微分方程的右端项f(xy)关于y满足李普希茨 条件，则有 y+1-卫n+i≤J(xn)-yn+hLy(xn)-yn) =(1+hL)(y(x,)-y) 10
10 而 由于 若常微分方程的右端项 f（x,y）关于y满足 条件， 考虑无 yn =y(xn )条件下的整体截断误差： 1 1 1 ( ) n n n e y x y 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n n n n y x y y x y y y 1 1 ( ) ( , ( )) ( ( , )) n n n n n n n n y y y x y hf x y x h f x y 则有 1 1 ( ) ( ( ) ) n n n n n n y y y x y hL y x y (1 ) ( ( ) ) hL n n y x y