电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第四章 行波法（2/3）

激理方程与特殊函致 第四章行波法（二） 主讲：杨春

第四章 行波法(二) 主讲：杨春

本次课主要内容 一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 二、泊松公式的物理意义

本次课主要内容 一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 二、泊松公式的物理意义

一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 求解：三维空间自由振动波动方程定解问题： &x ,(-o0<x,y,2<+o,t>0) 4川o=0(,y2)0 =0=Ψ(x,y,2) (一)、球对称情形 定义：如果波函数只与径向有关，则称波函数具有球对称性

  2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , , 0 ( , , ), ( , , ) t t u u u a x y z t t x y z u u x y z x y z t                                    一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 求解：三维空间自由振动波动方程定解问题： (一)、球对称情形 定义：如果波函数只与径向有关，则称波函数具有球对称性

引入球坐标变换： x=rsinθcosp y=rsin0sinp.(0≤r<+oo,0≤p≤2π，0≤0≤π) z=rcos0 则三维自由振动波动方程化为： Bu 102u-1au 2a2812 在球对称下，方程退化为： 0r2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin sin sin u u u u r r r r r r a t                                  引入球坐标变换： 则三维自由振动波动方程化为： sin cos sin sin (0 ,0 2 ,0 ) cos x r y r r z r                         在球对称下，方程退化为： 2 2 2 2 2 1 1 u u r r r r a t                2 2 2 2 2 ( ) ru ru a r t     

于是得到通解： u=fr+a+f6r-am)→Mr,=fC+at)+5C-a四 r 这就是说，具有球对称情况下的三维问题退化为一维问题求解。 对于不具有球对称解的三维波动方程柯西问题，如何求其定解？ (二)小、一般情形 方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质，得到自由振动的三维波动方程柯 西问题的定解公式一泊松公式。 1、波函数的球面平均值 u(r,t)= 4 为以M(飞，y,为心，r为半径的球面上的平均值。 称d①为面积微元dS对球心所张成的立体角

于是得到通解： 这就是说，具有球对称情况下的三维问题退化为一维问题求解。 1 2 ru f r at f r at     ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( , ) f r at f r at u r t r     对于不具有球对称解的三维波动方程柯西问题，如何求其定解？ (二)、一般情形 方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质，得到自由振动的三维波动方程柯 西问题的定解公式—泊松公式. 1、波函数的球面平均值 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 4 4 M M S S r r u r t u M t dS u M t d   r        为以M (x, y, z)为心，r为半径的球面上的平均值。 称dΩ为面积微元dS对球心所张成的立体角