连续函数运算m例正切函数tanx与余切函数cotx。正切函数tanx与余切函数cotx在每一个定义域的区间上连续，tanx E c(k -,k +), cotx E C(kπ,(k + 1)), k E Z。例幂函数xα在(O,+)上连续，其中αER。因为 xα =eαlnx，由连续函数的复合即得。例反三角函数arcsinx与arccosx在[-1,1]上连续，而反三角函数arctanx与arccotx在（一oo,+oo）上连续，由三角函数的区间连续性，及反函数的关系即得
7 连续函数运算 例 正切函数 𝐭�� 与余切函数 𝐜��。 正切函数 𝐭�� 与余切函数 𝐜�� 在每一个定义域的区间上连续， 例 幂函数 � � 在 �, + ∞ 上连续，其中 � ∈ �。 因为 � � = � �𝐥� ，由连续函数的复合即得。 例 反三角函数 ���𝐥�� 与 ���𝐜�� 在 −�, � 上连续， 而反三角函数 ���𝐭�� 与 ���𝐜�� 在 −∞, + ∞ 上连续， 由三角函数的区间连续性，及反函数的关系即得。 𝐭�� ∈ � �� − � � , �� + � � ， 𝐜�� ∈ � ��, � + � � ，� ∈ �
连续函数运算所有的基本初等函数在定义域区间上均连续。而初等函数是由有限个基本初等函数通过四则运算、复合运算得到。定理初等函数在定义域区间上连续。例写出函数 f(x) = ln(1+x)的连续区间。tanx
8 连续函数运算 所有的基本初等函数在定义域区间上均连续。 而初等函数是由有限个基本初等函数通过四则运算、复合运算得到。 定理 初等函数在定义域区间上连续。 例 写出函数 � � = 𝐥 �+� 𝐭�� 的连续区间
左连续、右连续m利用左、右极限，可定义左、右连续。定义设函数f(x)在xo的右邻域内有定义，若 lim f(x)=f(xo)，则称f(x)在xo 右连续。x-xo+可类似定义左连续。定理工函数f(x)在xo连续一在xo处既左连续又右连续，即 limf(x) =f(xo) 一 lim f(x) = lim f(x) =f(xo)。x→xox-xo+x-xo
9 左连续、右连续 利用左、右极限，可定义左、右连续。 定义 设函数 � � 在 �� 的右邻域内有定义， 若 𝐥� �→��+� � = � �� ，则称 � � 在 �� 右连续。 可类似定义左连续。 定理 函数 � � 在 �� 连续 ⟺在 �� 处既左连续又右连续， 即 𝐥� �→�� � � = � �� ⟺ 𝐥� �→��+� � = 𝐥� �→��−� � = � ��