目录微分方程的概念一阶微分方程可降阶高阶微分方程线性微分方程解结构常系数线性微分方程微分方程数值解微分方程应用举例
2 目录 5 常系数线性微分方程
复数对实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，在实数域有求根公式 x=-b+Vb2-4ac.2a140c当b2>4ac时有两互异实根，当b2=4ac时有二重根。但在复数域中总有两个根, 若 b2< 4ac, 则有 x =-b(ac-B2a其中，i为虚数单位，满足=-1。（-（开=i通过虚数单位，任何一个复数都可以唯一的表示为z=α十βi的形式。βdr(coso + isino),又z=α+βi=Vα2+β2Vα2+β2Vα2+β2这是复数的三角表示形式，其中r为该复数模长，θ为辐角
3 复数 对实系数一元二次方程 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎， 在实数域有求根公式 𝒙 = −𝒃± 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 ， 当 𝒃 𝟐 > 𝟒𝒂𝒄 时有两互异实根，当 𝒃 𝟐 = 𝟒𝒂𝒄 时有二重根。 但在复数域中总有两个根，若 𝒃 𝟐 < 𝟒𝒂𝒄，则有 𝒙 = −𝒃±𝒊 𝟒𝒂𝒄−𝒃 𝟐 𝟐𝒂 ， 其中，𝒊 为虚数单位，满足 𝒊 𝟐 = −𝟏。 通过虚数单位，任何一个复数都可以唯一的表示为 𝒛 = 𝜶 + 𝜷𝒊 的形式。 又 𝒛 = 𝜶 + 𝜷𝒊 = 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 𝜶 𝜶𝟐+𝜷𝟐 + 𝒊 𝜷 𝜶𝟐+𝜷𝟐 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧𝜽 ， 这是复数的三角表示形式，其中 𝒓 为该复数模长，𝜽 为辐角
复数)1-（+s由e的定义，有ex=limh+enLuT+isi)nn-00=e将此公式中的x从实数推广至复数Z，即得到复指数函数的定义三(eb))ere"=keα+ip有eα+iβ= lim略去推导,1eα(cosβ + isinβ);三nn-8这又称为复数的指数表示形式。由此，还可以得到著名的欧拉公式eiβ=cosβ+isinβ，Il14更进一步，取β=元，有e+1=0,此等式同样被称为欧拉公式，称为上帝创造的公式
4 复数 由 𝐞 的定义，有 𝐞 𝒙 = lim 𝒏→∞ 𝟏 + 𝒙 𝒏 𝒏 ， 将此公式中的 𝒙 从实数推广至复数 𝒛，即得到复指数函数的定义。 略去推导，有 𝐞 𝜶+𝒊𝜷 = lim 𝒏→∞ 𝟏 + 𝜶+𝒊𝜷 𝒏 𝒏 = 𝐞 𝜶 𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝒊𝐬𝐢𝐧𝜷 ， 由此，还可以得到著名的欧拉公式 𝐞 𝒊𝜷 = 𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝒊𝐬𝐢𝐧𝜷， 这又称为复数的指数表示形式。 更进一步，取 𝜷 = 𝝅，有 𝐞 𝒊𝝅 + 𝟏 = 𝟎， 此等式同样被称为欧拉公式，称为上帝创造的公式
复数广复数中除了四则运算，还有一种运算称为共轭运算，设z=α+βi，则z的共轭为z=α-βi若 z = eα+iβ, 则 z = eα(cosβ + isinβ) = e(cosβisinβ) = eα-iβ。f-wiu j=rtis另外可验证，对任意复函数f,9，有f+g=f+9,f.g=f.9,df+f，i·(f+)均为实函数
5 复数 复数中除了四则运算，还有一种运算称为共轭运算， 设 𝒛 = 𝜶 + 𝜷𝒊，则 𝒛 的共轭为 𝒛ത = 𝜶 − 𝜷𝒊， 另外可验证，对任意复函数 𝒇,𝒈，有 𝒇 + 𝒈 = 𝒇ത + 𝒈ഥ，𝒇 ⋅ 𝒈 = 𝒇ത ⋅ 𝒈ഥ， 𝒇 + 𝒇ത，𝒊 ⋅ 𝒇 + 𝒇ത 均为实函数。 若 𝒛 = 𝐞 𝜶+𝒊𝜷，则 𝒛ത = 𝐞 𝜶 𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝒊𝐬𝐢𝐧𝜷 = 𝐞 𝜶 𝐜𝐨𝐬𝜷 − 𝒊𝐬𝐢𝐧𝜷 = 𝐞 𝜶−𝒊𝜷
常系数二阶线性微分方程Smur二阶线性微分方程为y+p(x)y+q(x)y=f(x)，其中，p(x),q(x)为连续函数，又称线性方程的系数，当方程系数为常数p,q时，则称为常系数二阶线性微分方程，即y"+py+qy=f(x)，该方程可进行求解。我们将先对齐次（f(x）=0）情形，给出通解的公式再对非齐次的情形，给出求特解的方法
6 常系数二阶线性微分方程 二阶线性微分方程为 𝒚 ′′ + 𝒑 𝒙 𝒚 ′ + 𝒒 𝒙 𝒚 = 𝒇 𝒙 ， 其中，𝒑 𝒙 , 𝒒 𝒙 为连续函数，又称线性方程的系数， 当方程系数为常数 𝒑, 𝒒 时， 则称为常系数二阶线性微分方程，即 𝒚 ′′ + 𝒑𝒚 ′ + 𝒒𝒚 = 𝒇 𝒙 ， 该方程可进行求解。 我们将先对齐次（𝒇 𝒙 = 𝟎）情形，给出通解的公式， 再对非齐次的情形，给出求特解的方法