高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值极小值可能大于极大值 定理(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且 在x处取得极值那末必定f(x)=0. 定义使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根川 做函数f(x)的驻点 驻点和不可导点统称为临界点 Http://www.heut.edu.cn
设 f (x)在 点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 定理(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-6,x),有f(x)>0;而x∈(x0,x+8), 有∫(x)<0,则∫(x)在x处取得极大值 2)如果x∈(x0-δ,x,有f(x)<0;而x∈(xn,x+a) 有f(x)>0,则f(x)在x处取得极小值. (3)如果当x∈(x0-δ,x)及x∈(x0,x0+δ)时,f(x)符 号相同则∫(x)在x处无极值 定理(第二充分条件设∫(x)在x处具有二阶导数, 且f(x0)=0,f(x0)≠0,那末 (1)当f(x0)<0时,函数f(x)在x处取得极大值; (2)当∫(x)>0时,函数f(x)在x处取得极小值 Http://www.heut.edu.cn
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符 号相同,则 f ( x)在 0 x 处无极值. 设 f (x)在x0 处具有二阶导数, 且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极小值. 定理(第二充分条件) 定理(第一充分条件)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 求极值的步骤: (1)求导数∫(x) (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查∫(x)在驻点左右的正负号或∫"(x)在 该点的符号,判断极值点; (4)求极值 Http://www.heut.edu.cn
(1) 求导数 f (x); (2) 求驻点，即方程 f (x) = 0的根; , ; (3) ( ) ( ) 该点的符号 判断极值点 检查 f x 在驻点左右的正负号或 f x 在 (4) 求极值. 求极值的步骤:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 3最大值、最小值问黑 步骤: 1求驻点和不可导点 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值(最大值或最小值) Http://www.heut.edu.cn
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题 步骤:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最大(或最小)值 (曲线的凹凸与拐点 设f(x)在(a,b内连续如果对(a,6内任意 两点x1,x2,恒有f(1+x2∫(x1)+f(x2) 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凹的; Http://www.heut.edu.cn
实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值; 函数值即为所求的最大（或最小）值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两点 恒有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + (4) 曲线的凹凸与拐点 定义