高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第7节极限帝在法 极限存在法则 两个重要极限 H tt p /www.heut.edu
第7节 极限存在法则 两个重要极限 极限存在法则 两个重要极限
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 、极限存在准则 1夹逼准则 准则|如果数列xn,yn及n满足下列条件: (1) nsx≤zn(n=1,2,3…) (2)lim y=a, lim zn=a, n→0 n→0 那末数列xn的极限存在,且 lim x= n→ 证∵yn→>a,zn→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得 H tt p /www.heut.edu
准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn 的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得 1.夹逼准则 一、极限存在准则
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> 当n>N时恒有yn-a<e, 当n>N2时恒有zn-a<E, 取N=max{N1,N2},上两式同时成立, Bpa-E<y, <a+e, a-8<zn < a+E, 当n>N时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+e, 即xn-a<E成立,:imxn=a n→ 说明:上述数列极限存在的准则可以推广到函数的 极限。即有 H tt p: //
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 说明：上述数列极限存在的准则可以推广到函数的 极限。即有：
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 准则|′如果当x∈U2(x)(或x>M)时有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x), (2)lim g(x)=4, lim h()=A, (x->∞) 那末Ⅲm∫(x)存在,且等于A x→X (x→>0) 准则I和准则r称为夹逼准则 注!利用夹逼准则求极限关键是构造出,与x 意并且y与z的板限是容易求的 H tt p /www.heut.edu
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 I和准则 I'称为夹逼准则. 注 意
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1求lm( n-+ +2 n 解 十∴十 下下 n2+n√n2+1 √n+n n 又lm n→0√n2+nn→ 1+ n In =lim n2+1 1,由夹逼定理得 十 m 十 n2+1√n2+2 n+n H tt p: //
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n