高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第五节。函数的极值元 函数极值的定义 函数极值的求法 小结 Http://www.heut.edu.cn
第五节 函数的极值及其求法 函数极值的定义 函数极值的求法 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 函数极值的定义 f a x1 0x2 x3 x4 Http://www.heut.edu.cn
o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x 一、函数极值的定义
高等数学课程多媒体课件 北理工大学理学院>> 定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义x是 (a,b)内的一个点 如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)<f(x)均成立就称 f(x)是函数f(x)的一个极大值; 如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)>f(x)均成立就称 f(x)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、函数极值的求法 定理1(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x0)=0 使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 注意可导函数f(x)的极值点必定是它的弦 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x3,yx0=0,但x=0不是极值点 Http://www.heut.edu.cn
设 f (x)在点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点. 定理1(必要条件) 定义 注意 二、函数极值的求法
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-8,x),有f(x)>0;而x∈(x,x0+δ) 有f(x)<0,则f(x)在x处取得极大值 (2)如果x∈(x0-8,x0),有f(x)<0;而x∈(x,x0+6) 有f(x)>0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x)及x∈(x0,x0+8)时,f(x) 符号相同,则f(x)在x处无极值 x (是极值点情形) Http://www.heut.edu.cn
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f ( x)在x0处无极值. x y o x y x0 o 0 x + − − + 定理2(第一充分条件) (是极值点情形)