高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 4、洛必达法则 ●● 1.型及型未定式 ●● 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2.0·∞,0-0,0°,1°,∞型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 注意:洛必达法则的使用条件 Http://www.heut.edu.cn
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型及 型未定式 0 0 1 . 0 2 0 . 0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件. 4、洛必达法则
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 5、泰勒中值定狸 泰勒( Taylor)中值定理如果函数∫(x)在含有x0 的某个开区间(,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一 个n次多项式与一个余项Rn(x)之和: f(x)=f(x)+f(x0)(x-x)+(x d-d 0(x-x0)”+Rn(x) n (n+1) 其中Rn(x) (x-x)(在x与x之间 (n+1) Http://www.heut.edu.cn
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一 个n次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + = 5、泰勒中值定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 常用函数的麦克芳林公式 2n+1 2n+2 sI= d 十 +(-1) +ox (2n+1) cosx=1-x x x6 +…+(-1) 2n +0(x) (2n)! 2 n+1 In (1+x) +1 十 0(x 23 n+ =1+x+x2+…+x"+0(x”) (1+x)"=1+mx+ (m 2 x 2! m(m-1)…(m-n+1) + x"+o(x") Http://www.heut.edu.cn
( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + + 常用函数的麦克劳林公式
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 6、导数的应用 生数单调的判央 定理设函数y=f(x)在an,b上连续,在a,b内 可导 1如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x)在 a,b上单调增加; 2如果在(a,b内f(x)<0,那末函数=f(x)在 a,b上单调减少 Http://www.heut.edu.cn
定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 在 可 导 设函数 在 上连续，在 内 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = 6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2)函数的极值及其求法 定义设函数(x)在区间(a,b内有定义,x是(a,b内 的一个点 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)<f(x)均成立,就称 f(x0)是函数f(x)一个极大值; 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)>f(x)均成立,就称 f(x)是函数f(x)的一个极小值 Http://www.heut.edu.cn
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , , ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 内 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x f x a b x a b 定义 (2) 函数的极值及其求法