高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 曲线凹凸的定义 曲绲凹凸的判定 曲线的拐点及求法 H tt p /www.heut.edu
第七节 曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及求法
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> 、曲线凹凸的定义 B 问题:如何研究曲线的弯曲方向? y=f(r) y=f(r) 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 H tt p /www.heut.edu
问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o x1 x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) x1 x2 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C 一、曲线凹凸的定义
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 定义设f(x)在(a,b内连续,如果对(a,b内任意 两点x1,x2,恒有f( x1+x2f(x1)+f(x2) < 2 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是叫的; 如果对(a,b内任意两点x1,x2,恒有 23)s∫(x1)+f(x2) ,x fo 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凸的; 如果f(x)在a,b内连续且在(a,b)内的图形是凹 (或凸的那末称f(x)在a,b内的图形是叫或凸的; H tt p /www.heut.edu
定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定 y=f B y=f(r)/B 0 a b r f(x)递增y">0 f(x)递减 <0 定理1如果f(x)在{a,b上连续在(a,b)内具有 二阶导数,若在(a,b)内 (1)∫"(x)>0,则f(x)在{a,b上的图形是叫的; (2)f"(x)<0,则f(x)在{a,b上的图形是凸的 H tt p /www.heut.edu
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1判断曲线y=x3的凹凸性 解 3x 6x 0.2 当x<0时 0,1 <0. ∴曲线在(-o,0为凸的; 0.3 当x>Q时,y>0,∴曲线在0,+∞)为凹的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 H tt p /www.heut.edu
例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点