高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第8节无穷小的比较 普价元穷小代换法 无穷小的比较 H tt p /www.heut.edu
第8节 无穷小的比较 等价无穷小代换法 无穷小的比较
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 无穷小的比较 例如,当x→>0时,x,x2,inx,x2sn都是无穷小 2 观li x2比3x要快得多 3x 各极限 sIn lim sinx与x大致相同 0 lim x= lim sin不存在不可比 x→0x 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同 H tt p: //
例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim → 0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin → 0 = 不存在. 观 察 各 极 限 一、无穷小的比较
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 定义:设α2是同一过程中的两个无穷小,且a≠0 (1)如果limP=0,就说β是比α高阶的无穷小 c 记作β=0(x); (2)如果inB=C(C≠0),就说β与a是同阶的无穷小 记作a=O6 特殊地如果lim=1,则称β与a是等价的无穷小 记作α~β (3)如果imB k C(C≠0,k>0),就说是a的k阶的无穷 H tt p /www.heut.edu
( ); (1) lim 0, , = = 记 作 o 如 果 就 说 是 比 高阶的无穷小 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (2) 如 果 lim = ( 0),就 说与是同阶的无穷小; C C ~ ; lim 1, ; = 记 作 特殊地 如 果 则 称 与 是等价的无穷小 (3) 如 果lim C(C 0, k 0) ,就 说 是 的k阶 的 无 穷 小. k = 记 作: =O()
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1证明:当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 4ytan°x 解lim tan x lIm x→0 4 0 故当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小. 例2当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数 tan x -sin x 解 tan x 1-cos ·lim m x→0 x→0x 2 ∵tnx-sinx为x的三阶无穷小 H tt p /www.heut.edu
例 1 解 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 4 3 0 4 tan lim x x x x → 3 0 ) tan 4 lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) tan 1 cos lim( 2 0 x x x x x − = → , 21 = tan x −sin x为x的三阶无穷小
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 常用等价无穷小:当x→0时, sIn arcsin tanx, arctan In(1+x)x, e-l x, 1-cosx-x 2 √/x+1-1~1x 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: C-β ∴Iim m =0,即∞-β=0( 于是有a=β+o() 例如,Sinx=x+o(x),cosx=1-x2+0(x2) Http://www.heut.edu
当x → 0时, 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim = 1, lim = 0, − 即− = o(), 于是有 = + o(). 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x . 2 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − − x n x n 1 + 1 − 1 ~ 常用等价无穷小: