高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第四节函数单性的到 单调性的判别法 单调区间求法 小结 Http://www.heut.edu.cn
第四节 函数单调性的判定法 单调性的判别法 单调区间求法 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、单调性的剃别法 y=f(r) y=f(x) B b 0a b f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b内可 导.(1)如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=∫(x) 在[a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内∫(x)<0, 那末函数y=f(x)在[a,b上单调减少 Http://www.heut.edu.cn
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A 一、单调性的判别法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证x1,x2∈(a,b且x<x2,应用拉氏定理得 ∫(x2)-∫(x)=f(4x2-x1)(x1<5<x2) x2-X1> 若在(a,b内,f(x)>0,则∫()>0, ∫(x2)>∫(x1∴y=f(x)在a,b上单调增力 若在a,b)内,f(x)<0,则f(5)<0, f(x2)<f(x1)∴y=f(x)在ab上单调减少 tt p : // h
证 , ( , ), 1 2 x x a b , 1 2 且 x x 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f x − x x x 0, x2 − x1 若 在(a,b)内 ，f(x) 0, 则 f() 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若 在(a,b)内 ，f(x) 0, 则 f() 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调减少
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1讨论函数y=e-x-1的单调性 解∵y'=e2-1.又:D:(-∞,+0) 在(-∞0内, J<0, ∴函数单调减少 在(0,+∞)内,y′>0,∴函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 Http://www.heut.edu.cn
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(− ,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+ )内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又 D : (− ,+ )
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、单调区间求法 问题如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点 方法用方程∫(x)=0的根及(x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号 Http://www.heut.edu.cn
如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． . ( ) , ( ) 0 ( ) 数 的 符 号 来 划 分 函 数 的 定 义 区 间 然 后 判 断 区 间 内 导 用 方 程 的 根 及 不 存 在 的 点 f x f x = f x 问题 定义 方法 二、单调区间求法