江画工太猩院 积分因子法 定义:山(x,y)≠0连续可微函数,使方程 μ(x,y)P(x,y)kx+μ(x,y)Q(x,y)=0成为全 微分方程则称山(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子?
江西理工大学理学院 二、积分因子法 定义: µ ( x , y ) ≠ 0连续可微函数，使方程 µ ( x , y ) P ( x , y )dx + µ ( x , y ) Q ( x , y )dy = 0成为全 微分方程.则称 µ ( x , y )为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子 ?
江画工太猩院 1公式法:.O(P)_0(Q) Oy a ap ou 00 ou t p Q两边同除 Oy ay ax ax Q u dInu aP oQ yop~n、求解不容易 特殊地 a当只与有关时;c=0, ax dx
江西理工大学理学院 1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ µ µ Q x Q x Q y P y P ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ µ µ µ µ 两边同除 µ， x Q y P y P x Q ∂∂ − ∂∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ln µ ln µ 求解不容易 特殊地: a.当µ只与x有关时; = 0, ∂∂yµ , dxd xµ µ = ∂∂
江画工太猩院 dInu 1a 00 d o Oy ax )=f(x) (x)=e ∫f(x)d b当八只与有关时;=0, oX dIn u 1, a0 OP dy P ax ay g(y) g(y)dy (y)=e
江西理工大学理学院 b.当 µ只与 y有关时 ; ( ) ln 1 x Q y P dx Q d ∂ ∂ − ∂ ∂ ∴ = µ = f ( x ) ( ) . ( ) ∫ ∴ = f x dx µ x e = 0 , ∂ ∂ x µ , dy d y µ µ = ∂ ∂ ( ) ln 1 y P x Q dy P d ∂ ∂ − ∂ ∂ ∴ = µ = g ( y ) ( ) . ( ) ∫ ∴ = g y dy µ y e
江画工太猩院 2观察法:凭观察凑微分得到山(x,y) 常见的全微分表达式 xdy-ydx y xdr t ydy =d x xdy ydx ydy+ ydx d arctan d in xy) r t x xy xd t ydy d In(x+ y x t y xdy-ydx=dIn -) xt y x- y
江西理工大学理学院 2.观察法: 凭观察凑微分得到 µ(x, y) 常见的全微分表达式 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + + = 2 2 2 x y xdx ydy d ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = − xy d x xdy ydx 2 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = +− xy d x y xdy ydx arctan 2 2 d ( ) xy xy xdy ydx = ln + ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = + ++ ln( ) 21 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ −+ = −− x y x y d x y xdy ydx ln 21 2 2
江画工太猩院 可选用的积分因子有 111 xt y x x x+yy2x2京 例3求微分方程 (3x+y2)x+(x2+xy)=0的通解. 1OP00 d 解 )=,∴μ(x)=ex=x 则原方程为 (3xy+x)x+(x+xy)=0
江西理工大学理学院 可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y ( 3 ) ( ) 0 . 2 2 的通解 求微分方程 xy + y dx + x + xy dy = 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q = ∂ ∂ − ∂ ∂ Q ∫ ∴ = dx x x e 1 µ( ) = x . 例 3 则原方程为 ( 3 ) ( ) 0 , 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy =