江画工太猩院 第4节 隐含数、参数方程求导
江西理工大学理学院 第 4 节 隐含数、参数方程求导
江画工太猩院 一、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=f(x)隐函数的显化 问题隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
江西理工大学理学院 一、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数 y = y ( x )称为隐函数 . y = f ( x ) 形式称为显函数 . F ( x , y ) = 0 y = f ( x ) 隐函数的显化 问题 :隐函数不易显化或不能显化如何求导 ? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
江画工太猩院 例1求由方程xy-e+e"=0所确定的隐函数 y的导数,小 dc’dx2 解方程两边对求导, y+x-e"+e;= d x 解得=-,由原方程知x=0y2=0, d x xte e-y x+e1/
江西理工大学理学院 例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − ∴ = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2设方程sm(q)-hmx+=1所确定的隐函数 y=y(x),求 dy x=0 解方程两边对x求导得 cos(ry (xy ) -[In(x+)-Iny=0 整理得c0s(x),(y+xy)-( x+1 由原方程知x=0,y=e并将它们代入上式得: e-(1--·y(0)= e ¨=0=y10)=201-)
江西理工大学理学院 例2 ( ), . 1 1 sin( ) ln = =0 = + − x dx dy y y x y x xy 求 设方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导,得 cos(xy)⋅(xy)′ − [ln( x + 1) − ln y]′ = 0 整理得 ) 0 1 1 cos( ) ( ) ( = ′ − + ⋅ + ′ − yy x xy y xy 由原方程知 x = 0, y = e,并将它们代入上式得： (0) (1 ) 0 y e e dxdy ∴ x= = ′ = − (0)) 0 1 − (1 − ⋅ y′ = e e
江画工太猩院 例3设曲线C的方程为x3+p3=3x,求过C上 点(,的切线方程,并证明曲线C在该点的法 22 线通过原点. 解方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3x y 2y2-x元-1 所求切线方程为2N-(x-)即x+y-3=0. 法线方程为y-=x-。即 2即y=x,显然通过原点
江西理工大学理学院 例3 . ) , 23, 23( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对 x求导, 3x + 3 y y′ = 3 y + 3xy′ 2 2 ) 23, 23( 2 2 ) 23, 23( y x y x y − − ∴ ′ = = −1. 所求切线方程为 ) 23 ( 23 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点