重积分第十章第三节三重积分三重积分的概念和性质二、三重积分的计算08
第十章 重积分 第三节 三重积分
三重积分的概念和性质1、三重积分的定义定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域Q上的有界函数，将闭区域Q任意分成n个小闭区域△v，△v2，,△,，其中△v,表示第i个小闭区域，也表示它的体积．在每个△v 上任取一点(5i,ni,)，作乘积f(si,ni,S)·△v,,(i=1,2,,n)，并作和f(5,ni,5,)Av．如果当各小闭区域的直径中的i最大值几趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Q上的三重积分，记为Jf(x,y,z)dv,即JJ f(x,y,z)dv=limZf(5i,n,5,)Av,,其中 dv叫做体积元素.2=001018个不个高数学教学部不不不
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?在三角坐标系中，如果用平行于坐标轴的平面来划分Q，那么除了包含的边界点的一些小区域外，其余的小区域为长方体，体积记为Av; = Ax,AykAzi相应地，三重积分记为Ef(5i,ni,S)AvpJJ f(x,y,z)dxdydz= lim2.i-1其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素说明空间闭区域上的三元连续函数必可积如果连续函数p(x,y,z)表示物体在点(x,y,z)处的密度，是该物体所占有的空间闭区域，可知m=JJp(x,y,z)dv二2008个个个高等数学教学部不不个
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2、三重积分的性质假定下列各性质中的三重积分均存在性质 1 设α、β为常数时，则JJ][agf(x,y,z)+ βg(x, y,z)]dv= α ]f f(x, y,z)dv + βJ[I g(x, y,z)dyOJjif(x, y,z)+ g(x, y,z2)]dv= J[J f(x, ,z)dy + JJ g(x, y,z)dv,推论(1)222(2)JJ of(x,y,z)dv = α JJ (x, y,z)dv.性质2如果闭区域Q被有限张曲面分为有限个部分闭区域，则在Q上的三重积分等于在各部分闭区域上的三重积分的和JJJ f(x, y,z)dv. (2=2, U2, )[] f(x, y,z)dv= J] f(x,y,z)dv+ 2此性质称为三重积分关于积分区域具有可加性则 [[[ 1dv= [[ dv = V.性质 3若 V为Q的体积，贝Q2001018个不高等教学教学部不不不
高等数学教学部 4 ( , , ) ( , , ) ( , , ) . 1 2 f x y z dv f x y z dv f x y z dv ( ) 1 2
性质 4 若在Q上，f(x,y,z)≤ g(x,y,z)，则JJ f(x, y,z)dv≤ J] g(x, y,z)dv.Q2推论 (1) 若在α上,f(x,y,z)≥0, 则[[ f(x,y,z)dv≥0.Q(2)1 J] (x, y,z)dv≤ J[(x, y,z)ldv.9中性质5（估值定理）设M、m分别是f(x,y,z)在闭区域Q上的最大值和最小值，V为α的体积，则mV≤JJf(x,y,z)dv≤MVQ001018个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 5 (2)| ( , , ) | ( , , ) . f x y z dv f x y z dv