第九章多元函数微分学及其应用9.5方向导数与梯度人民邮电出版社RISS&HOTPRES
9.5 方向导数与梯度 第九章 多元函数微分学及其应用
本节内容方向导数0102梯度
本节内容 01 方向导数 02 梯度
O?O一、方向导数研究函数在点P。沿某一方向的变化率，这种变化率叫做方向导数定义9.9设函数u=f(x,y,z)在点P(xoyo,z.)的某一邻域U(P)内有定义，I为从点P出发的射线.P(x.y,z)为I上且含于U(P)内的任一点，以r表示P与P两点间的距离若极限f(P)- f(P)limrROr存在，则称此极限为函数u=f(x,y,z)在点P沿方向/的方向导数.记作
一、方向导数 定义9.9
O0、方向导数如果函数u=f(x,y,z)在点P(xo,o,z)可微分，则函数沿任意方向l的方定理9.13向导数都存在，且有ffIf1f(1)cosbcosacosg12161z/PIx/Iylr其中cosacosbcosg为方向的方向余弦设P(x.J,z)为方向/上任一点，r为P与P两点间的距离，由于u=f(x,y,z）在证11IfDz +o(r )f(P)- f(P)DxP点可微，则有1zIx rqyhPDxIfDzDyf(P)- f(P)1fo(r)两边各除以，得zIx/eyrFrrr21fIf1fo(r)cosbcosacosg1xIyle1z
定理9.13 证 一、方向导数
OA0一、方向导数所以1ff(P)- f(P)flimcosbcosacosg.111xrROly1z/PrIPP注对于二元函数f(x,J)1ff11cosbcosa17/e1y1x/P其中α；b为方向的方向角：
注 一、方向导数