重积分第十章第四节重积分的应用曲面的面积工二、质心三、转动惯量四、引力08
第十章 重积分 第四节 重积分的应用
?、曲面的面积设曲面 S 由方程z= f(x,y)给出，D 为ZSS在xOy面上的投影区域，函数f(x,y)在 DdAM上具有连续偏导数，下面计算S的面积A0在闭区域D上任取一直径很小的闭区域yd。（也表示其面积），在do上任取一点0八(x,y)ZP(x,)，对应地曲面S上有一点doIxM(x,J,f(x,y)，点 M 处曲面 S 的切平面记为T（如图）以小区域dα的边界为准线、母线平行于z轴的柱面在S上截得一小片曲面，在T上截得一小片平面以T上的那一小片平面的面积近似代替S上的那一小片曲面的面积do并设点M处曲面S的法向量（向上）与z轴所成的角为，则dAcosy0008个不高教学教学部不不不
高等数学教学部 2 d (x, y) M dA x y z s o
Z: n=(-fr(x,y),-f,(x,y),1)SdA1M面cos=/1+ f'(x,y)+ f,(x,y)y.:. dA = /1+ f(x,y)+ f(x,y)do,0V(x,y)W..A= J /1+ f'(x, y)+ f,(x,y)do,do1此为曲面的面积公式若曲面的方程为x =g(y,z),(y,z)e Dyz:. A = [J /1+ g,(y,z)+ g'(y,z)do.若曲面的方程为y= h(z,x),(z,x)e Dx.. A= JI /I+ h(z,x)+h'(z,x)do.Dex008个不不高等数学教学部不不
高等数学教学部 3 n ( f (x, y), f (x, y),1), x y , 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y x y 1 ( , ) ( , ) , 2 2 dA f x x y f y x y d 1 ( , ) ( , ) , 2 2 A f x y f x y d D x y 1 ( , ) ( , ) . 2 2 A g y z g y z d Dyz y z 1 ( , ) ( , ) . 2 2 A h z x h z x d Dzx z x d (x, y) M dA x y z s o
例1求球面x2+y2+z2=α2，含在圆柱体x2+y2=ax内部的那部分面积。解 记D: x2+y2≤ax, (y≥0)Zz=/a? -x?- y?北Zr=Va?-x?-y?' 3ya2-x2-yy. A=4[l 1+ z2 + z, dxdyD,X-4小1dxdy21D,cos- 4a" do f pdp = 2元a2 - 4a?a0008个个个高等数学教学部
高等数学教学部 4 , 2 2 2 z a x y x y z A z z dxdy D1 D x y 1 2 2 4 1 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a cos 0 2 2 2 0 1 4 a d a a d 2 4 . 2 2 a a , 2 2 2 a x y x z x , 2 2 2 a x y y z y
C例2设有一颗地球同步轨道通信卫星，距地面的高度为h=36000km，运行的角速度与地球自转的角速度相同.试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R=6400km）+z解建立坐标系如图，通信卫星的覆盖区域为z = R2-x? - y?,x2 + y? ≤ R2 sin2α,R记 D:x’ + y2≤R’ sin’α.这里cosαR+hyJJ /1+z(x,y)+z;(x,y)do:A=XDxyJRRRsinepdpde =f." defdo=zpdpR?R2-x2 -R2-pDxyDxy1hAh~42.5%.= 2元R(1 - cosα) = 2元R24元R22(R + h)R+h'008不不不高等数学教学部不不不
高等数学教学部 5 x y z o , sin , 2 2 2 2 2 2 2 z R x y x y R : sin . 2 2 2 2 Dxy x y R A z x y z x y d Dxy x y 1 ( , ) ( , ) 2 2 d R x y R Dxy 2 2 2 d d R R Dxy 2 2 sin 0 2 2 2 0 R d R R d 2 (1 cos ) 2 R 2 , 2 R h h R 2 4 R A 2(R h) h 42.5%