第十二章无穷级数第三节幂级数函数项级数的概念幂级数及其收敛性幂级数的运算08
第十二章 无穷级数 第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
?一、函数项级数的概念设 u,(x),u,(x),.…,u,(x),.…. 是定义在I R 上的函数，则Zu,(x)=u(x)+u,(x)+.+u,(x)+称为定义在区间I上的函数项无n=穷级数，简称函数项级数00如果x e I,数项级数u,(x)收敛，则称x,为级数u,(x)的收敛1n=1n=180点，否则称为发散点．函数项级数u,(x)的所有收敛点的全体称为收敛n=1域，所有发散点的全体称为发散域001018个不个高数学教学部不不不
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?u,(x)成为一收敛的常数项级数，有一对于收敛域中的每一个x，n=1确定的和 S;在整个收敛域上，函数项级数的和是关于 x的函数，记作S(x)，称为函数项级数的和函数u,(x)的收敛域，在收敛域内有和函数的定义域就是函数项级数n=1S(x)-Zu,(x).n=1函数项级数的部分和为S(x)，在收敛域I内，lim S,(x)= S(x);函数项级数的余项为r,(x)= S(x)-S,(x)，且在收敛域 I 内有lim r,(x) = 0.H-008个个个高等数学教学部
高等数学教学部 3 ( ) ( ). 1 S x u x n n
新求级数≥(-1"例 1 )"的收敛域n+xn=1unti(x)n(n → 0),解由比值判别法知n+1 1+xu,(x)1+x当(1) 1+x>1，当x>0或x<-2时，原级数绝对收敛11+x(2) 当1+x<1，当-2<x<0时，原级数发散1.1+x当(3)店:1.1+x =1, x =0或x =-2,1+ x-(-1)"当×——2时，级数变为21发散；当×=0时，级数变为2(收敛，nn=inn=1级数的收敛域为(-80,-2)U[0,+8),001018个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 4 ( ) ( ) 1 u x u x n n n x n 1 1 1 ( ), 1 1 n x 1, 1 1 (1) x 当 1 x 1, 1, 1 1 (2) x 当 1 x 1, 1, 1 1 (3) x 当 1 x 1, (,2)[0,)
二、幂级数及其收敛性Za.(x-x,)"-a, +a(x-x)+a,(x-x,)+a,(x-x,)*+,n=0称为关于(x-x,)的幂级数2.若x，=0，有a,x" =a, +ax+a,x'+...+a,x" +..n=01、幂级数的收敛域800对于幂级数Ea,x"a,x"，给x以确定的值（比如x=x,),则幂级数n=0n=000a,x，若这个常数项级数收敛，则称x,为幂级数的收为一常数项级数n=000敛点，否则称为发散点。幂级数a,x"的所有收敛点的全体称为收敛域，n=0所有发散点的全体称为发散域0008个个个高等数学教学部不不个
高等数学教学部 5 2 0 1 0 2 0 0 0 a (x x ) a a (x x ) a (x x ) n n n ( ) , an x x0 n 2 0 1 2 0 a x a a x a x n n n . n an x