重积分第十章第一节二重积分的概念与性质、二重积分的概念二、二重积分的性质三、对称定理08
第十章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质
引言设函数f(x)在[a,bl上有界，在la,bl中任意插入若干个分点：a=x,<x, <x,<<x-1<x,=b,把区间[a,b]分成n个小区间[x,x,-],各小区间的长度依次为△x; =x,一x-,(i=1,2,…,n)。在每个小区间上任取一点 5, e[x,xi-i1,作乘积 f(5)Ax, ,并作出和 S=Zf(5)Ax, 记i-1几=max[△ri,Ar,,.…,△r,}，如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间[x1,x]上怎样选取点，只要当→0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a,bl上的定积分，记为' f(x)dx = 1 =lim Z f(5,)Ax,入→01=100l08心个不不高数学教学部不不不
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假定下面的各性质中列出的定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小I' af (x) + Pg(x)ldx= α " f(x)dx+ βf" g(x)dxI'f(x)+ g(x)ldx-I' f(x)dx+J' g(x)dx.推论1[" kf(x)dx= kf' f(x)dx.推论2设a <c<b, 则f"f(x)dx= " f(x)dx+ T' f(x)dx2[, f(x)dx-I, f(x)dx =I" f(x)dx推论" f(x)dx- J" f(x)dx=f" f(x)dx001018个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 3 b a f (x)dx b c c a f (x)dx f (x)dx. b a c b c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx b a a c b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx
dx= b-a.4 如果在区间[a,b]上,f(x)≥0, 则[f(x)dx ≥0, (a<b),推论1 如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x),则 [" f(x)dx ≤f' g(x)dx, (a <b).推论 2I" f(x)dx≤ ["1 f(x) dx, (a<b).5设M及m分别是函数f(x)在区间[a,bl上的最大值及最小值，则m(b -a)≤f f(x)dx≤ M(b -a)6（定积分中值定理）如果函数f（x)在闭区间la,bl上连续，则在积分区间[a,bl 上至少存在一个点=, 使f(x)dx=f(E)(b-a)(a≤<b).00108中个不高教学教学部不不不
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" f(x)dx称为函数 f(x)在区间 [a, b)积分学中值定理中，f()=-上的平均值当f(x)>0时，" f(x)dx在几何上表示由曲线 y=f(x)、直线 x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积当f(x)<0时，["f(x)dx在几何上表示由曲线 y-f(x)、直线 x=a、x=L及x轴所围成的曲边梯形的面积的负值当,(x)有正有负时，[" f(x)dx在几何上表示由曲线 y-f(x)、直线 x=a、-b及x轴所围成的曲边梯形的面积的代数和对称定理① 若f(x)在[-a,al上连续且为偶函数，则f(x)dx=2f(x)dx②若f(x)在[-a,al上连续且为奇函数，则["f(x)dx=000108不不高尊教学教学部不不
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