《高等数学AII》课程教学大纲一、课程的基本信息课程名称高等数学AIIAdvancedMathematicsAll课程编号L12002适用专业理工科各专业课程性质公共基础课总学时80学时学分5学分理论学时80学时实验学时0学时0学时开课学期第2学期实践学时（先修课程初等数学后续课程复变函数与积分变换、线性代数、概率统计二、课程性质和课程目标1.课程性质高等数学课程是高等院校理工科各专业重要的公共基础课程之一，具有较强的理论性和完整的运算体系。《高等数学IⅡI》主要包括空间解析几何、多元函数的微分学、多元函数的积分学以及级数理论。通过本课程的学习，使学生获得高等数学的基本知识、基本思想方法和基本的运算能力，为学习后续数学课程及各专业课程打下基础。2.课程目标课程目标1正确理解高等数学Ⅱ中空间解析几何相关概念、多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、重积分、曲线积分、曲面积分和级数收敛等概念；把握这些概念的基本结构和隐含在其中的思想方法，并较熟练运用这些概念解决相关的问题。课程目标2通过对高等数学I相关概念的性质、运算公式和定理的学习，掌握其证明思路和方法，并学会应用重要原理证明具有一定难度的问题。课程目标3会求平面、直线、旋转曲面的方程以及空间曲线在坐标面上的投影；能够熟练运用多元函数的极限、偏导数、重积分和线面积分的运算方法较熟练地计算相应各类问题：熟练掌握各类常数项级数的判别法，能够求出幂级数的收敛半径和收敛域，求出幂级数的和函数，并能解决其反问题；能够把周期函数展开成傅里叶级数。课程目标4熟练掌握多元函数极值的求法；掌握重积分以及线、面积分体现的重要方法一元素法，并解决相关的总量问题。课程目标5通过高等数学Ⅱ中重要概念产生的背景、概念的演变过程中体现出
《高等数学 AII》课程教学大纲 一、课程的基本信息 课程名称 高等数学 AⅡ Advanced Mathematics AII 课程编号 L12002 适用专业 理工科各专业 课程性质 公共基础课 总学时 80 学时 学分 5 学分 理论学时 80 学时 实验学时 0 学时 实践学时 0 学时 开课学期 第 2 学期 先修课程 初等数学 后续课程 复变函数与积分变换、线性代数、概率统计 二、课程性质和课程目标 1．课程性质 高等数学课程是高等院校理工科各专业重要的公共基础课程之一，具有较强的理论性 和完整的运算体系。《高等数学Ⅱ》主要包括空间解析几何、多元函数的微分学、多元函数 的积分学以及级数理论。通过本课程的学习，使学生获得高等数学的基本知识、基本思想方 法和基本的运算能力，为学习后续数学课程及各专业课程打下基础。 2.课程目标 课程目标 1 正确理解高等数学Ⅱ中空间解析几何相关概念、多元函数的极限、 连续、偏导数、全微分、重积分、曲线积分、曲面积分和级数收敛等概念；把握 这些概念的基本结构和隐含在其中的思想方法，并较熟练运用这些概念解决相关 的问题。 课程目标 2 通过对高等数学Ⅱ相关概念的性质、运算公式和定理的学习，掌握 其证明思路和方法，并学会应用重要原理证明具有一定难度的问题。 课程目标 3 会求平面、直线、旋转曲面的方程以及空间曲线在坐标面上的投影； 能够熟练运用多元函数的极限、偏导数、重积分和线面积分的运算方法较熟练地 计算相应各类问题；熟练掌握各类常数项级数的判别法，能够求出幂级数的收敛 半径和收敛域，求出幂级数的和函数，并能解决其反问题；能够把周期函数展开 成傅里叶级数。 课程目标 4 熟练掌握多元函数极值的求法；掌握重积分以及线、面积分体现的 重要方法—元素法，并解决相关的总量问题。 课程目标 5 通过高等数学Ⅱ中重要概念产生的背景、概念的演变过程中体现出
的辩证思想、数学思想方法、历史及数学意义、数学观念和态度的了解，培养学生敢于批判、敢于质疑的勇气，培养学生追求数学的一般化、统一化的信念和理性精神。课程目标6通过对高等数学IⅡ中有关概念、原理中人文因素、思政要素的分析，提升学生的人格、道德修养。三、教学内容与课程标的对应关系序与课程目标课课程内容教学要求教学设计号时对应关系1161.向量的概念；1.正确理解向量1.教学设计及教学课程目标12.相量的线性运建议的概念，熟练掌握算;向量加法及数与（1）解析几何又称3.空间直角坐标向量乘积的定义、为坐标几何或笛卡系;运算规律及其坐儿几何，这是数学发4.向量线性运算标表示、熟记向量展史上的一座重要的坐标表示；的模、方向角的计的里程碑。解析几何5.向量的模、方向算公式，掌握向量的创立揭示了代数角、投影；在轴上的投影及与几何内在的联系，6.向量的数量积其性质；为人们研究几何间课程目标3与向量积；2.掌握向量积和题或代数问题提供7.平面及其方程数量积的定义和了有效的研究方法.一曲面方程与空运算规律，会用数解析几何诞生的科间曲线方程的概量积和向量积处学价值体现在以下念、平面的点法式理一些几何间题；几个方面：方程、平面的一般3.熟练掌握平面开创了近现代数学方程、两平面的夹的一般方程、点法的先河；角；式方程以及截距提出了一切问题都课程目标59.空间直线及其式方程，会求满足可以归结为解方程方程一间直线的一定条件的平面问题的“通用数学”的一般方程、空间方程，掌握点到平方案，开创了机械化直线的对称式方面的距离公式，会的数学计算方法；程及参数方程、两判断两平面之间提出了将数学作为
的辩证思想、数学思想方法、历史及数学意义、数学观念和态度的了解，培养学 生敢于批判、敢于质疑的勇气，培养学生追求数学的一般化、统一化的信念和理 性精神。 课程目标 6 通过对高等数学Ⅱ中有关概念、原理中人文因素、思政要素的分析， 提升学生的人格、道德修养。 三、教学内容与课程目标的对应关系 序 号 课程内容教学要求 教学设计 与课程目标 对应关系 课 时 1 1.向量的概念； 2.相量的线性运 算； 3.空间直角坐标 系； 4.向量线性运算 的坐标表示； 5.向量的模、方向 角、投影； 6.向量的数量积 与向量积； 7.平面及其方程 —曲面方程与空 间曲线方程的概 念、平面的点法式 方程、平面的一般 方程、两平面的夹 角； 9.空间直线及其 方程—间直线的 的一般方程、空间 直线的对称式方 程及参数方程、两 1.正确理解向量 的概念，熟练掌握 向量加法及数与 向量乘积的定义、 运算规律及其坐 标表示、熟记向量 的模、方向角的计 算公式，掌握向量 在轴上的投影及 其性质； 2.掌握向量积和 数量积的定义和 运算规律，会用数 量积和向量积处 理一些几何问题； 3.熟练掌握平面 的一般方程、点法 式方程以及截距 式方程，会求满足 一定条件的平面 方程，掌握点到平 面的距离公式，会 判断两平面之间 1.教学设计及教学 建议 （1）解析几何又称 为坐标几何或笛卡 儿几何，这是数学发 展史上的一座重要 的里程碑.解析几何 的创立揭示了代数 与几何内在的联系， 为人们研究几何问 题或代数问题提供 了有效的研究方法. 解析几何诞生的科 学价值体现在以下 几个方面： 开创了近现代数学 的先河； 提出了一切问题都 可以归结为解方程 问题的“通用数学” 方案，开创了机械化 的数学计算方法； 提出了将数学作为 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 5 16
直线的夹角、直线的位置关系；一种方法科学的直与平面的夹角；4.熟练掌握直线观一演绎法的方法10.曲面及其方程的一般方程、对称论，使科学方法论实课程目标6一曲面研究的基式和参数方程，会现了革命性的突破；本问题、旋转曲求满足一定条件为微积分诞生的创面、柱面、二次曲的直线方程，会判造了必要条件.面；断两直线及直线因此在授课过11.空间曲线及其与平面之间的位程中，既要穿插有关置关系；方程一空间曲线解析几何产生的历的一般方程、空间5.熟记特殊曲面史背景、笛卡尔的生曲线的参数方程、的方程形式，判断平及笛卡尔解析几空间曲线在坐标给定方程代表的何的构思过程，又要曲面；面上的投影阐述其诞生的价值6.会求空间曲线与意义.在坐标面上的投（2）明确解析几何影.体现出的数形结合的思想表现在两个方面：几何问题的代数化和代数问题的几何化.（3）在讲授解析几何的过程中，由于涉及到的曲面与曲线的图形较为复杂，可以借助于多媒体进行直观教学1.多元函数的定21.正确理解多元1.教学设计及教学课程目标112义;函数极限的描述建议2.多元函数的极性定义，会求多元（1）多元函数的微积限与连续性；函数极限，正确理分及其应用无疑是一3.偏导数一多元解多元函数连续元函数的微积分及其函数的偏导数的性的定义，了解多应用的推广，体现出课程目标3定义、多元函数的元函数在有界闭从特殊到一般的思偏导数与高阶偏区域上连续的性想，知识之间的特殊导数的计算；质；与一般的关系从思维4.全微分一多元2.正确理解多元方法上往往表现为一函数的全微分的函数偏导数的定种类比关系，因此在定义、几何意义、义及几何意义，会这一部分内容的教学全微分的计算；求具体的多元函过程中，应充分运用课程目标45.多元复合函数数的偏导数及高类比法，由一元函数求导法则；；阶偏导数；的极限、连续、导数、6.隐函数的求导3.正确理解多元微分的概念去理解多公式；函数全微分的概元函数的极限、连续、7.方向导数与梯1念及其几何意义，偏导数及全微分的定
直线的夹角、直线 与平面的夹角； 10.曲面及其方程 —曲面研究的基 本问题、旋转曲 面、柱面、二次曲 面； 11.空间曲线及其 方程—空间曲线 的一般方程、空间 曲线的参数方程、 空间曲线在坐标 面上的投影. 的位置关系； 4.熟练掌握直线 的一般方程、对称 式和参数方程，会 求满足一定条件 的直线方程，会判 断两直线及直线 与平面之间的位 置关系； 5.熟记特殊曲面 的方程形式，判断 给定方程代表的 曲面； 6.会求空间曲线 在坐标面上的投 影. 一种方法科学的直 观—演绎法的方法 论，使科学方法论实 现了革命性的突破； 为微积分诞生的创 造了必要条件. 因此在授课过 程中，既要穿插有关 解析几何产生的历 史背景、笛卡尔的生 平及笛卡尔解析几 何的构思过程，又要 阐述其诞生的价值 与意义. （2）明确解析几何 体现出的数形结合 的思想表现在两个 方面：几何问题的代 数化和代数问题的 几何化. （3）在讲授解析几 何的过程中，由于涉 及到的曲面与曲线 的图形较为复杂，可 以借助于多媒体进 行直观教学. 课程目标 6 2 1.多元函数的定 义； 2.多元函数的极 限与连续性； 3.偏导数—多元 函数的偏导数的 定义、多元函数的 偏导数与高阶偏 导数的计算； 4.全微分—多元 函数的全微分的 定义、几何意义、 全微分的计算； 5.多元复合函数 求导法则；； 6.隐函数的求导 公式； 7.方向导数与梯 1.正确理解多元 函数极限的描述 性定义，会求多元 函数极限，正确理 解多元函数连续 性的定义，了解多 元函数在有界闭 区域上连续的性 质； 2.正确理解多元 函数偏导数的定 义及几何意义，会 求具体的多元函 数的偏导数及高 阶偏导数； 3.正确理解多元 函数全微分的概 念及其几何意义， 1.教学设计及教学 建议 （1）多元函数的微积 分及其应用无疑是一 元函数的微积分及其 应用的推广，体现出 从 特 殊 到 一 般 的 思 想，知识之间的特殊 与一般的关系从思维 方法上往往表现为一 种类比关系，因此在 这一部分内容的教学 过程中，应充分运用 类比法，由一元函数 的极限、连续、导数、 微分的概念去理解多 元函数的极限、连续、 偏导数及全微分的定 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 4 12
度；会求多元函数的义；也可以有一元函1课程目标58.多元函数微分全微分，明确多元数微分学中的法则、法的应用一空间函数连续、偏导数原理、公式推测多元曲线的切线与法存在、偏导数存在函数的相关法则、原平面；曲面的切平且连续、全微分存理或公式，但是一元面与法线；在之间的关系；函数与多元函数毕竞课程目标69.多元函数的极4.会求多元复合在自变量的个数上有值及其求法一多函数的偏导数或着区别，自变量在数元函数的极值及全微分；量上的变化有时会引最大值与最小值、5.利用隐函数的起在性质上的改变，条件极值-拉格朗求导公会求由方正因如此，在学习多日乘数法..程确定的隐函数元函数相关性质时，的导数或偏导数，应注意二者之间的区简介方程组的情别，如连续与偏导数形;的关系、偏导数与全微分的关系等.6.会求空间曲线的切线与法平面（2）应注意化归思想的运用.的方程，会求曲面的切平面与法线多元函数极限的求的方程法、偏导数与高阶偏7.简介方向导数导数的计算最终转化与梯度为一元函数极限与一元函数导数相应的方7.熟练掌握多元法与公式；在证明有函数极值、最大值关原理、公式或方法与最小值的求法，的过程中，注重把多能够解决一些经元函数的问题转化为济领域或工程技一元函数的相应间术领域的实际间题，如全微分存在的题必要条件的证明、拉格朗日乘数法的推导都体现出化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的化归思想，31.二重积分的概1. 正确理解二重1.教学设计及教学建课程目标114议念与性质一二重积分、三重积分的积分的概念、二重定义，正确理解二(1)借助于类比法由积分的性质；重积分、三重积分曲边梯形面积的求法2.二重积分计算的性质；探讨曲顶柱体的体积课程目标3法一利用直角坐2.熟练掌握运用的计算方法，即分割、标计算二重积分、直角坐标计算法近似、求和、取极限，利用极坐标计算及极坐标计算二进而由定积分的定义二重积分；重积分的具体步类比叙述出二重积分课程目标4
度； 8.多元函数微分 法的应用—空间 曲线的切线与法 平面；曲面的切平 面与法线； 9.多元函数的极 值及其求法—多 元函数的极值及 最大值与最小值、 条件极值-拉格朗 日乘数法. 会求多元函数的 全微分，明确多元 函数连续、偏导数 存在、偏导数存在 且连续、全微分存 在之间的关系； 4.会求多元复合 函数的偏导数或 全微分； 5.利用隐函数的 求导公会求由方 程确定的隐函数 的导数或偏导数， 简介方程组的情 形； 6.会求空间曲线 的切线与法平面 的方程，会求曲面 的切平面与法线 的方程 7.简介方向导数 与梯度 7.熟练掌握多元 函数极值、最大值 与最小值的求法， 能够解决一些经 济领域或工程技 术领域的实际问 题 义；也可以有一元函 数微分学中的法则、 原理、公式推测多元 函数的相关法则、原 理或公式，但是一元 函数与多元函数毕竟 在自变量的个数上有 着区别，自变量在数 量上的变化有时会引 起在性质上的改变， 正因如此，在学习多 元函数相关性质时， 应注意二者之间的区 别，如连续与偏导数 的关系、偏导数与全 微分的关系等. （2）应注意化归思想 的运用. 多 元 函 数 极 限 的 求 法、偏导数与高阶偏 导数的计算最终转化 为一元函数极限与一 元函数导数相应的方 法与公式；在证明有 关原理、公式或方法 的过程中，注重把多 元函数的问题转化为 一 元 函 数 的 相 应 问 题，如全微分存在的 必要条件的证明、拉 格朗日乘数法的推导 都体现出化繁为简、 化难为易、化不熟悉 为熟悉的化归思想. 课程目标 5 课程目标 6 3 1.二重积分的概 念与性质—二重 积分的概念、二重 积分的性质； 2.二重积分计算 法—利用直角坐 标计算二重积分、 利用极坐标计算 二重积分； 1.正确理解二重 积分、三重积分的 定义，正确理解二 重积分、三重积分 的性质； 2.熟练掌握运用 直角坐标计算法 及极坐标计算二 重积分的具体步 1.教学设计及教学建 议 (1)借助于类比法由 曲边梯形面积的求法 探讨曲顶柱体的体积 的计算方法，即分割、 近似、求和、取极限， 进而由定积分的定义 类比叙述出二重积分 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 4 14
3.三重积分一三的定义，再由定积分骤；重积分的定义、三3.熟练解决直角的几何意义、性质分重积分的计算一坐标系下的两种别类比推出二重积分三重积分的直角不同积分次序的的几何意义性质，可坐标计算法、柱面二次积分的互化以直接用二重积分的坐标计算法和球问题以及直角坐定义与性质类比叙述课程目标5面坐标计算法（简标的二次积分与三元函数的三重积分介);极坐标的二次积的定义与性质；5.重积分的应用分的互化问题；(2)在二重积分的直（物理应用简介）4.熟练掌握三重角坐标计算方法的基积分的直角坐标础上，同样借助于类计算法和柱面坐比法推导出三重积分标计算法，简介三的直角坐标计算法，重积分的球面坐至于三重积分的柱面标的计算法；坐标计算法应与直角4.会用重积分球坐标先一后二的计算空间立体的体积公式相对比，可以达和空间曲面的面到在理解上的更好效积，简介重积分在果.物理学中的应用1.对弧长的曲线1.正确理解两类|1.教学设计及教学建84积分一第一类曲议曲线积分与两类线积分的概念、性曲面积分的概念（1）借助于类比法，课程目标1质，第一类曲线积与性质，熟练掌握在定积分、二重积分分的计算法；曲线积分与曲面及三重积分概念基础2.对坐标的曲线积分的基本计算上去建构第一类曲线积分一第二类曲积分与第一类曲面面方法；线积分的概念、性2.正确理解格林积分的概念；进而类质，第二类曲线积公式的条件与结比出相应的性质；课程目标3分的计算法，两类论，并运用格林公（2）从形式上看，可曲线积分的联系；式解决求出较复以由第二类曲线积分3.格林公式及其杂的第二类曲线的形式类比推测第二应用一格林公式、积分；明确曲线积类曲面积分的形式；平面上曲线积分分与路径无关的其次，在讲授第二类课程目标4与路径无关的条条件，解决二元函曲面积分时，应同样件、二元函数的全数求积问题运用类比方法借助微分求积3.正确理解高斯于向量在轴上的投影4.对面积的曲面公式的条件与结去理解有向曲面在坐积分一第一类曲论，会用高斯公式标面上的投影，这些面积分的概念、性5求出较复杂的铺垫性的工作有利于质，第一类曲面积第二类曲面积分。第二类曲面积分概念的建构.课程目标5分的计算法；4.了解斯托克斯公式（3）由微积分基本公5.对坐标的曲面积一第二类曲面式类比格林公式，再
3.三重积分—三 重积分的定义、三 重积分的计算— 三重积分的直角 坐标计算法、柱面 坐标计算法和球 面坐标计算法（简 介）； 5.重积分的应用 （物理应用简介） 骤； 3.熟练解决直角 坐标系下的两种 不同积分次序的 二次积分的互化 问题以及直角坐 标的二次积分与 极坐标的二次积 分的互化问题； 4.熟练掌握三重 积分的直角坐标 计算法和柱面坐 标计算法，简介三 重积分的球面坐 标的计算法； 4.会用重积分球 空间立体的体积 和空间曲面的面 积，简介重积分在 物理学中的应用. 的定义，再由定积分 的几何意义、性质分 别类比推出二重积分 的几何意义性质，可 以直接用二重积分的 定义与性质类比叙述 三元函数的三重积分 的定义与性质； (2)在二重积分的直 角坐标计算方法的基 础上，同样借助于类 比法推导出三重积分 的直角坐标计算法， 至于三重积分的柱面 坐标计算法应与直角 坐标先一后二的计算 公式相对比，可以达 到在理解上的更好效 果. 课程目标 5 4 1.对弧长的曲线 积分—第一类曲 线积分的概念、性 质，第一类曲线积 分的计算法； 2.对坐标的曲线 积分—第二类曲 线积分的概念、性 质，第二类曲线积 分的计算法，两类 曲线积分的联系； 3.格林公式及其 应用—格林公式、 平面上曲线积分 与路径无关的条 件、二元函数的全 微分求积 4.对面积的曲面 积分—第一类曲 面积分的概念、性 质，第一类曲面积 分的计算法； 5.对坐标的曲面 积—第二类曲面 1.正确理解两类 曲线积分与两类 曲面积分的概念 与性质，熟练掌握 曲线积分与曲面 积分的基本计算 方法； 2.正确理解格林 公式的条件与结 论，并运用格林公 式解决求出较复 杂的第二类曲线 积分；明确曲线积 分与路径无关的 条件，解决二元函 数求积问题. 3.正确理解高斯 公式的条件与结 论，会用高斯公式 5 求出较复杂的 第二类曲面积分. 4.了解斯托克斯公 式 1.教学设计及教学建 议 （1）借助于类比法， 在定积分、二重积分 及三重积分概念基础 上去建构第一类曲线 积分与第一类曲面面 积分的概念；进而类 比出相应的性质； （2）从形式上看，可 以由第二类曲线积分 的形式类比推测第二 类曲面积分的形式； 其次，在讲授第二类 曲面积分时，应同样 运用类比方法 借助 于向量在轴上的投影 去理解有向曲面在坐 标面上的投影，这些 铺垫性的工作有利于 第二类曲面积分概念 的建构. （3）由微积分基本公 式类比格林公式，再 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 4 课程目标 5 8