第十二章无穷级数第七节傅立叶级数三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅立叶级数国三、1正弦级数和余弦级数08
第十二章 无穷级数 第七节 傅立叶级数 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数
?、三角级数三角函数系的正交性函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...cosnx,sinnx,..称为三角函数系.对于一个函数系(g,(x)，若,(x)pm(x)dx=0(n ± m)，则称此函数系在la,bl上是正交函数系 cos nxdx = 0,sin nxdx = 0.元[0,0m+nm+n元sin mx sinnxdx =cosmxcosnxdx:m=nm=n元,元，sinmx cosnxdx = 0, 其中m,n = 1,2,...由此可知，上述三角函数系在[一元，元|是正交的[" 1dx = 2元, ["cos” nxdx = 元, [" sin’ nxdx = 元, (n = 1,2,..).说明000个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 2 cos 0, nxdx sin 0, nxdx , , 0, sin sin m n m n mx nxdx , , 0, cos cos m n m n mx nxdx sin cos 0, mx nxdx 1 2 , dx cos , 2 nxdx sin , 2 nxdx (n 1,2,)
二、函数展开成傅立叶级数1、傅立叶系数假设f(x)是周期为2元的周期函数，且 f(x)能展开成三角级数，即f(x)-" + Z(a, coskx + b, sin kx),(1)(1)式两端在[一元,元|上积分，有" (x)dx =a dx + "12(a, cos kx+b, sin kx)dx-gdx+Za, coskedx+Zb sin kdx -.2n,2.a -- (x)d.oo8个个个高等数学教学部不不不
高等数学教学部 3 ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 k ak kx bk kx a f x (1) dx a kx b kx dx a f x dx k k k [ ( cos sin )] 2 ( ) 1 0 dx a kxdx b kxdx a k k k k cos sin 2 1 1 0 2 , 2 0 a ( ) . 1 0 a f x dx
Sf(x) =a + Z(a, cos kx+b, sin kx),(1)(1)式两端同乘以cosnx，然后在[一元，元上积分，有ao[" f(x)cos nxdx = cos nxdx12JZ[a ",coskxcosnxdx+b, ] sinkxcos nxdx]=a, J.cos’ nxdx =a,,..a, - " (x)cos xdx, (n-1,3,-).(1)式两端同乘以sin nx，然后在[一元,元|上积分，有f(x)sin xdx-"'sinxdx2+E[a,,coskxsin nxdx+b, 'sin kxsinnxdx] -b, J' sin'nxdx =b,元,..b, - " (x)sin nxdx, (n= 1,2,3, .).T00l08个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 4 nxdx a f x nxdx cos 2 ( )cos 0 [ cos cos sin cos ] 1 a kx nxdx bk kx nxdx n k an nxdx 2 cos , an ( )cos , 1 an f x nxdx (n 1,2,3,). ( )sin , 1 bn f x nxdx (n 1,2,3,). nxdx a f x nxdx sin 2 ( )sin 0 [ cos sin sin sin ] 1 a kx nxdx bk kx nxdx n k , bn ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 k ak kx bk kx a f x (1) bn nxdx 2 sin
2、展开公式定理 1设周期为2元的周期函数f(x)能展开成三角级数f(x)= ao + E(a, cos nx + b, sin nx),其中a, =-" f(x)cos nxdx, (n=0,1,2,)b, -,』, I(x)sin nxdx, (n=1,2,3,).系数ao，a,，b,，(n=1,2,3,)称为函数f(x)的傅立叶系数，而三ao。 +Z(a, cos nx + b, sin nx)称为函数f(x)的傅立叶级数.角级数“20008个个个高等数学教学部不不不
高等数学教学部 5 2、展开公式