曲线积分与曲面积分第十一章第四节对面积的曲面积分对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的计算法0
第十一章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分
对面积的曲面积分的概念与性质1、引例曲面形构件的质量设有一曲面形构件Z，其面积为 S，面密度为连续函数μ=μ(x,,z),下面计算这构件的质量(1)分割将Z任意分成 n 个小曲面△S,(i=1,2,,n)，△S,表示小曲面的面积同时也表示小曲面本身(2)作近似 任取一点(i,ni,S,)E △S,令 Am, ~ μ(5i,n;,5,).AS, (i=1,2,..,n),Zu(51,,5)-AS,(3) 求和 m~i=1取极限(4)用元表示n 个小曲面的最大直径，取极限可得nZu(5i,ni5)As,.m = lim2-0i-1001018心个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 2 ( , , ) , i i i Si ( , , ) , mi i i i Si (i 1,2,,n), ( , , ) , 1 n i m i i i Si
62、对面积的曲面积分的概念与性质定义 1设为光滑（或分片光滑）曲面，函数f(x,y,z)在>上有界将Z任意分成 n 个小曲面△S，(i=1,2,,n).设第 i 个小曲面的面积为△S，又5i,niS)为第i个小曲面上任意取定的一点，作乘积Zf(5i,n;,5,)AS,. 如果当各小f(5,,ni,S,)AS, (i =1,2,..,n),并作和1-1曲面的直径的最大值几一→0时，这和的极限总存在，则称此极限为f(x,J,z)在曲面Z上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为J f(x, y,z)ds = lim Z f(5,n,5.)AS,2-0i=1T其中f(x,y,z)叫做被积函数，Z叫做积分曲面000个不不高教学教学部不不不
高等数学教学部 3 ( , , ) lim ( , , ) , 1 0 n i i i i Si f x y z dS f
光滑（或分片光滑）曲面上的连续函数必可积积分存在定理说明所谓曲面是光滑的，即曲面上各点处都有切平面，且当点在曲面上连续移动时，切平面也连续移动m= JJ u(x,y,z)ds前述曲面形构件的质量为001018不不不高等数学教学部不不个
高等数学教学部 4 ( , , ) . m x y z dS
福3、对面积的曲面积分的性质性质 1°（线性）设α、β为常数，则[ [of(x, y,z)+ βg(x, y,z)]dS= α [[ f(x, y,z)ds + β[[ g(x, y,z)ds.[flf(x, y,z) + g(x, y,z)]ds推论(1)Z= JJ f(x, y,z)ds + J g(x, y,z)ds.(2)]f of (x, y,z)ds = α [[ f(x, y,z)ds性质 2° （可加性）若积分曲面>可分为两段光滑曲线弧,和，，则[[ f(x, y,z)ds = [] f(x, y,z)dS + [[ f(x, y,z)ds.008个个个高数学教学部不不个
高等数学教学部 5 [f (x, y,z) g(x, y,z)]dS ( , , ) ( , , ) ( , , ) . 1 2 f x y z dS f x y z dS f x y z dS ( , , ) ( , , ) . f x y z dS g x y z dS [ f (x, y,z) g(x, y,z)]dS ( , , ) ( , , ) . f x y z dS g x y z dS (2) ( , , ) ( , , ) . f x y z dS f x y z dS