?性质6（二重积分的中值定理）设函数f(x,V,z)在闭区域2上连续，V为Q的体积，则在Q上至少存在一点(5,n,5)，使得[[[ f(x,y,z)dv = f(5,n,s) V.Q证f(x,y,z)在闭区域2上连续，则mV≤[llf(x,y,z)dv≤MV,2m≤JJ (x, ,z)dv≤M,即2(x,,z)dv=(5,n,5)故在Q上至少存在一点(5,n,)使得9JJ f(x, y,z)dv= f(5,n,):V2平均值公式设函数f(x,,z)在闭区域Q上连续，V为Q的体积，则函数(x,y,z)在α上的平均值为于 = (x, y,z)dv.Q0008中个不高教学教学部不不不
高等数学教学部 6 ( , , ) , 1 f x y z dv M V m ( , , ) ( , , ) 1 f x y z dv f V f x y z dv f V ( , , ) ( ,, )
3、对称定理对称定理1如果空间区域Q关于xOv面对称，而以xOv面分割Q后其中一半记为Q，则(1) 当f(x, y,-z)= f(x,y,z)时, J[[ f(x, y,z)dv= 2[[[ f(x, y,z)dv2JJ f(x, y,z)dv= 0.(2) 当 f(x,y,-z)= -f(x,y,z)时,C对称定理 1'如果空间区域Q关于yOz面对称，而以yOz面分割Q后其中一半记为2，则(1) 当f(-x,y,z)= f(x, y,z)时, J[J f(x, y,z)dv= 2J][ f(x,y,z)dvO21J f(x,y,z)dv=0(2) 当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时,Q001018个不不高尊教学教学部不不不
高等数学教学部 7
对称定理1"如果空间区域Q关于z0x 面对称，而以zOx 面分割Q后其中一半记为2，则J]] f(x, ,z)dv= 2]] f(x, y,z)dv.(1) 当 f(x,-y,z) = f(x, y,z)时,Q21JJ f(x, ,z)dv= 0.(2) 当 f(x,-y,z)=-f(x, y,z)时,2J[ 5 xyz dv = 0.如藍x*+y2+z?≤1008个不高等教学教学部不不不
高等数学教学部 8
对称定理2 如果空间区域Q关于平面=x对称，而以平面=x分割后其中一半记为，则J[[ f(x, y,z)dv=2]ff f(x, y,z)dv(1)当f(x,y,z)= f(y,x,z)时,O2当f(x,y,z)=-f(y,x,z)时, JJJ f(x, y,z)dv= 0.(2)QJJf g(x)dv = JJf g(y)dvJ]] f(x, y,z)dv= J[] f(y,x,z)dv, J(3)?对称定理2＇如果空间区域Q关于平面z=y对称，而以平面z=y分割Q后其中一半记为2，则J]f f(x, y,z)dv=2]f f(x, y,z)dv.(l) 当f(x,y,z) = f(x,z,j)时,O$21(2) 当f(x,y,z)=-f(x,z,y)时, [[[ f(x,y,z)dv=0.J[J f(x, y,z)dv= JJ f(x,z, y)dv, JJ g(y)dv= JJf g(z)dv.(3)2200008中个不高教学教学部不不不
高等数学教学部 9