第三节格林公式及其应用格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结练习题
第三节 格林公式及其应用 • 一、格林公式 • 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 • 三、二元函数的全微分求积 • 四、小结 练习题
一、格林公式1、区域连通性的分类设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域D单连通区域复连通区域
一、格林公式 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否 则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 D D 1、区域连通性的分类
2、区域边界的方向LL由L,与L,连成L由L,与L,组成边界曲线L的正向：当观察者沿边界行走时，区2域D总在他的左边
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. 2、区域边界的方向 L L L 由 1 2 与 组成 L2 L1 L L L 由 1 2 与 连成 L2 L1
3、格林公式定理设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续的偏导数，则有apaQ)dxdy = Φ, Pdx + Qdy(1)axayD其中L是D的取正向的边界曲线公式（1）叫作格林公式注意：（1）P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2）曲线L是封闭的，并且取正向
3、格林公式 ( , ) ( , ) ( ) (1) . L D D L P x y Q x y D Q P dxdy Pdx Qdy x y L D − = + 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成， 函数 及 在 上具有一阶连续的 偏导数，则有 其中 是 的取正向的边界曲线 公式(1)叫作 定理 格林公式. 注意：(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性; (2) 曲线L是封闭的,并且取正向
证明(1)y=p,(x)RdD设区域D既是X-型又是Bx=(y)Y-型,即平行于坐标轴的x=V2(y)直线和L至多交于两点CC y=q(x)0d6D=((x,y)g(x)≤y≤p2(x),a≤x≤b)D=((x,y)yi(y)≤x≤2(y),c≤y≤d)
1 2 D x y x y x a x b = {( , ) ( ) ( ), } 证明(1) 1 2 D x y y x y c y d = {( , ) ( ) ( ), } y o x a b cd 1 y x = ( ) 2 y x = ( ) D A B C E 2 x y = ( ) 1 设区域D既是X -型又是 x y = ( ) Y - 型 ,即平行于坐标轴的 直线和 L至多交于两点