第十二章无穷级数第八节一般周期函数的傅立叶级数周期为2的周期函数的傅立叶级数0
第十二章 无穷级数 第八节 一般周期函数的傅立叶级数 一、周期为2l的周期函数的傅立叶级数
周期为21的周期函数的傅立叶级数1、展开公式定理 设周期为2l 的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数的展开式为nnf(x)=" +Z(a, cos+ b. sin)(xeC)n元xa, -, (x)cos其中dx, (n = 0,1,2,3, )1n元xb, -, (x)sin"dx, (n =1,2,3,..),C=(xI (x)=,If(x )+ f(x*))000x不不不高尊数学教学部不不个
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n元当f(x)为奇函数时，f(x)=b, sin"(xeC),T (x)sin dx, (n= 1,2.3,);其中b,一当f(x)为偶函数时，f(x)=", +Za,cosn(xeC),其中a, )汀, (x)cos"心dx, (n= ,12.3,).44008个不个高等数学教学部不不不
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元X证作变量代换z=于是区间一1≤×≤1变成一元≤z≤元，1设函数f(x)=f(")= F(z),，从而 F(z)是周期为2元的周期函数，并且满足收敛定理的条件，将F（z）展开成傅里叶级数F(2)=" +Z(a, cos nz +b, sin nz),,=-" FF(z)cosnzdz, b, --[" F(z)sinnzdz.元元X注意到z=F(z)= f(αx)，于是有(x)-+2(a,cosn+,sin1P-4a,-L,5(x)cos"dt, b,-L,(x)sin"mdx0008个不高等教学教学部不不不
高等数学教学部 4 ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z k n k ( )cos , 1 a F z nzdz n ( )sin . 1 b F z nzdz n ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 n n n l n x b l n x a a f x ( )cos , 1 l l n dx l n x f x l a ( )sin . 1 l l n dx l n x f x l b
S2、收敛定理定理2（收敛定理狄利克雷(Dirichlet)充分条件）设f(x)是以2l为周期的周期函数如果它满足条件：(1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内至多只有有限个极值点则f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x是f(αx)的连续点时,级数收敛于,f(x);(1) 当x是f(x)的间断点时，收敛于(x)+f(r)(2)2说明只要函数f(x)满足定理条件，则在C=(xI f(x)=f(x)+ f(x)2nxnxao +(a,cos函数f(x)可展开成傅立叶级数f(x)="sinn=1001018个不高教学教学部不不不
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