第一节 正交多项式 一、正交函数系与正交多项式 二、 正交多项式的性质 三、Legendre多项式 四、 Chebyshey多项式 五、其它常用的正交多项式 六、小结
第一节 正交多项式 一、 正交函数系与正交多项式 二、 正交多项式的性质 六、小结 三、 Legendre 多项式 四、 Chebyshey 多项式 五、其它常用的正交多项式
一、正交函数系与正交多项式 定义1给定函数o(x),x∈[a,b]若px)满足 (1)px)≥0，x∈(a,b) (2)"p(x)d> (3)积分p(x)xdk存在，n=0,1… 则称p(x为a,b]上的权函数 权函数px)的一种解释是物理上的密度函数，相应的J。p(x) 表示总质量.P(x)=常量，表示质量分布是均匀的
一、 正交函数系与正交多项式 定义1 给定函数 ( ), [ , ] x x a b 若 ( ) x 满足: (1) ( ) 0, ( , ); x x a b ( ) 0 b a x dx (2) 权函数 ( ) x 的一种解释是物理上的密度函数,相应的 ( ) b a x dx 表示总质量. ( ) x =常量,表示质量分布是均匀的. (3) 积分 ( ) b n a x x dx 存在,n=0,1,…. 则称 ( ) x 为[a,b]上的权函数
定义2给定f(x),g(x)Eca,b,p(x)是a,b上的权函数，称 (f.g)=()()g(x 为函数f与g在[a,b上的内积， 内积具有下列简单性质： (1)(f,g)=(g,f) (2)(af,g)=a(f,gia∈R (3)(f+f,8)=(f,8)+(f,8) (4)当f≠0，(f,f)>0 我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中，我们有一种 度量两个向量u及ⅴ之间距离的方法，我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词
( ) , ( ) ( ) ( ) b a f g = x f x g x dx 为函数f与g在[a,b]上的内积. 内积具有下列简单性质: 我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种 度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词. 定义2 给定 f x g x c a b ( ), ( ) [ , ] , ( ) x 是[a,b]上的权函数,称 (1) ( , ) ( , ) f g g f = (2) ( , ) ( , ); f g f g R = (3) 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) f f g f g f g + = + (4) 当 f f f 0,( , ) 0
定义3一个实值函数称为一个函数空间的范数，如果它在 空间处处有定义并满足条件： (1)f≥0， (2)laf=af:a为任意常数 (③)f+gsf+s 在闭区间上连续的函数f(x的最常见范数有： (1)》 最大值范数： fl=maxf(x)x∈[a,b] (2) 欧氏范数(L,范数)： /2=px/x)P]k)月 (1.2
定义3 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件: (1) 最大值范数: (2) 欧氏范数(L2范数): (1) f 0, (2) f f = ; 为任意常数 (3) f g f g + + 在闭区间上连续的函数 的最常见范数有: f x( ) f f x x a b max ( ) ; [ , ] (1.1) = (1.2) 1 2 2 2 ( ( )[ ( ) ] ) a b f x f x dx =
定义4 若内积 U,g)=广px)/xg(xk=0 则称f与g在区间[a,b上带权px)正交，若函数p2.….… 满足： 0p,）=Jpxo.(p,(xd={ 0,(J≠k) 4>0,(j=k) 则称{}是[a,b]上带权px)的正交函数系当p(x)是代数多 项式时，称为正交多项式： 下面我们列举几个最常见的正交函数系
定义4 若内积 ( , ) ( ) ( ) ( ) b k j k j a = x x x dx 0,( ) 0,( ) k j k A j k = = 则称{ } k 是[a,b]上带权 ( ) x 的正交函数系.当 ( ) k x 是代数多 项式时,称为正交多项式. 下面我们列举几个最常见的正交函数系. ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 b a f g x f x g x dx = = 满足: 则称 f 与 g 在区间 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交，若函数 0, 1, 2, n