三、正定二次型的判别法 1.对于抽象的，用定义 2.对于具体的，用定理 例1.判别二次型 f=-5x2-6y2-4z2+4xy+4xz 的正定性 解：的矩阵为 因为-5=-5<0， =26>0|A=-80<0 有定理13可知：为负定的
1. 对于抽象的，用定义； 2. 对于具体的，用定理. − − − = 2 0 4 2 6 0 5 2 2 A 解：f的矩阵为 13 . 26 0 | | 80 0. 2 6 5 2 5 5 0, 有定理 可知： 为负定的 因为 f = A = − − − − = − 2 2 2 5 6 4 4 4 . . f x y z xy xz = − − − + + 例1 判别二次型 的正定性
例2.设二次型 f=x2+2xx2+4xx3+2x3+6x2x3+ 为正定的，求1的取值范围 解：二次型f的矩阵为 112 而111>0 o 123=t-5 23 所以，当>5时，A的全部顺序主子式都大于零，从而A为正定的 而A所对应的二次型f为正定的
1 1 2 1 2 3 , 2 3 1 1 2 1 1 |1| 1 0, 1 0, 1 2 3 5. 1 2 2 3 5 . . = = = = − 解：二次型 的矩阵为 而 所以，当 时， 的全部顺序主子式都大于零，从而 为正定的 而 所对应的二次型 为正定的 f A t t t t A A A f 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 2 4 2 6 . . = + + + + + 例 设二次型 为正定的，求 的取值范围 f x x x x x x x x tx t
例3.己知方阵 3 2 2 4 -2 为正定矩阵，与A相似的对角矩阵是( W 解：因A为正定的，所以A的特征值全为正而A的相 似对角阵的主对角线上的元素恰是A的特征值.所以(b)和(d) 剔除；又因为所有的特征值之和等于A的迹，故（©）入选
, 7 6 1 , ( ) 7 4 1 , ( ) 10 0 2 , ( ) 11 1 1 ( ) − a b c d 解：因A 为正定的，所以A的特征值全为正.而A的相 似对角阵的主对角线上的元素恰是A的特征值.所以(b)和(d) 剔除；又因为所有的特征值之和等于A的迹，故(c) 入选. 3 2 0 2 4 2 0 2 5 . . A A = − − 例3 已知方阵 为正定矩阵，与 相似的对角矩阵是（ ）
例4.设对称矩阵A为正定的，试证 的伴随矩阵A也是正定的 证：因为A>0,所以A的特征值2>0(i=1,2,,n),A 的特征值三>0(i=1,2,,m),而A=1A的特征值为 L4=l2,…,m,于是A的特征值均大于零故A为正定矩 阵
. . A A A 例4 设对称矩阵 为正定的，试证： 的伴随矩阵 也是正定的 1 1 0 , 0( 1, 2, , ), 1 0 ( 1, 2, , ) , | | | | ( 1, 2, , ), . . i i i A A i n A i n A A A A i n A A − − = = = = 证：因为 所以 的特征值 的特征值 而 的特征值为 于是 的特征值均大于零故 为正定矩 阵
例5设A是阶正定矩阵，证明： |A+2E>2". 证因为A为阶的正定矩阵， 故存在正交矩阵P,使 P-AP=PTAP=A, 其中 且2>0(i=1,2,…,n)是A的特征值，因此
且 i 0(i =1,2, ,n)是A的特征值，因此 | 2 | 2 . n . A n A E + 例5设 是 阶正定矩阵，证明： 1 T 1 2 , , A P P AP P AP − = = = 证 因为 为 阶的正定矩阵， 故存在正交矩阵 使 其中 n n