第一节Lagrange插值公式 一、插值问题的提法 二、线性插值 三、二次插值 四、n次插值 五、插值多项式的余项 六、小结
第一节 Lagrange插值公式 一、插值问题的提法 四、 n 次插值 二、线性插值 五、插值多项式的余项 六、小结 三、二次插值
插值问题的提法 在生产和科研中，经常会遇到这样的问题：由试验或观测得 到了某一函数关系y=f(x)在一系列点x,x,…,xn处的值 ,…,需要构造一个简单函数p(),使 y=f(x)≈p(x) 且满足条件y=9,(x),i=0,1,…n 这类函数逼近问题即为插值问题 o(x)称为f(x)的插值函数，x,称为插值节点， y,=p,(x),i=0,1,…n.称为插值条件
在生产和科研中,经常会遇到这样的问题:由试验或观测得 到了某一函数关系 在一系列点 处的值 ,需要构造一个简单函数 ,使 且满足条件 这类函数逼近问题即为插值问题. y = f (x) 0 1 , , , n x x x 0 1 , , n y y y ( x) y f x x = ( ) ( ) ( ), 0,1, . i i y x i n = = 一、插值问题的提法 称为 的插值函数, 称为插值节点, 称为插值条件. ( x) f (x) i x ( ), 0,1, . i i y x i n = =
设F(x)在n+1个不同点x处的函数值y(=1,2,；·m为已知， 要求构造一个次数不超过n的代数多项式 Pn(x)=4+ax+ax+…anx 使P(x)在节点处满足 P,()= i=1,2,…,n. (1.2） 这个问题称为n次代数插值问题。P,(x)称为(x)的插值函 数，x,称为插值节点，式Q.2)称为插值条件
设 F x( )在n +1个不同点xi处的函数值 ( 1,2,, ) Y I n i = L 为已知， 要求构造一个次数不超过 n的代数多项式 ( ) 2 0 1 2 n P x a a x a x a x n n = + + + (1.1) 使P x n ( )在节点 i x 处满足 P x y n i i ( ) = i n =1,2, , . (1.2) 这个问题称为 n次代数插值问题。 ( ) P x n 称为 F x( )的插值函 数，i x 称为插值节点，式（1.2）称为插值条件
可以证明，插值问题(1.1)（①2）的解是存在且唯一的。为了 得到Lagrange公式的一般形式，我们先从最简单的一次插 值入手。 二、线性插值 已知： Xo X V % 为 求一个一次多项式P(x),使满足 P(x)=yi=0,1 即求过点(x),(x)的一次曲线 y=R=X-王%+X-
可以证明，插值问题(1.1 1.2 )、( )的解是存在且唯一的。为了 得到 Lagrange 公式的一般形式，我们先从最简单的一次插 值入手。 x y 0 x 0 y 1 x 1 y 已知： 求一个一次多项式 1P x( )，使满足 1 ( ) , 0,1. P x y i i i = = 即求过点( x y x y 0 0 1 1 , , , ) ( )的一次曲线1 0 1 0 1 0 1 1 0 ( ) x x x x y P x y y x x x x − − = = + − − 二、线性插值
若记 ,)=X-五，4w=X0 X0一X1 x -Xo 则有 y=)+Hx)=∑y以，x) 显然 1,i=j 1,)=8=0.1≠j i,j=0,1
若记 1 0 0 1 0 1 1 0 ( ) , ( ) x x x x l x l x x x x x − − = = − − 则有 1 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) j j j y y l x y l x y l x = = + = 显然 1, ( ) 0, j i ij i j l x i j = = = i j , 0,1 =