第一节Gauss消元法 一、引言 二、Gauss 消元法的基本思想 三、 主元消元法 四、 Gauss消元法的矩阵形式 五、小结
第一节 Gauss 消元法 四、 Gauss 消元法的矩阵形式 三、 主元消元法 二、 Gauss 消元法的基本思想 一、引言 五、小结
一、引言 在自然科学和工程技术问题中，涉及到许多数值计算 问题，最终都要归结为解线性代数方程组AX=b。其中 A∈R",bR”,A是可逆的。本章和下一章分别讨论解方程 组的直接方法和迭代方法。所谓直接方法就是通过有限次 的精确运算能得到真解的一类数值方法。从本质上讲，直 接方法的原理是找到一个可逆矩阵M,使得MA是一个上 三角阵，这个过程称为“消元”过程。消元之后再进行 “回代”，即球解Mb 。 实际计算过程中，不必明显 地计算出短阵，而只须把M和计算出来。这类直接 方法中最基本和最简单的就是 消元法，本章首先论 消元法和矩阵分解法，以及Gass消元法在各种情况下的 变形，并分析其误差
在自然科学和工程技术问题中，涉及到许多数值计算 问题，最终都要归结为解线性代数方程组 。其中 是可逆的。本章和下一章分别讨论解方程 组的直接方法和迭代方法。所谓直接方法就是通过有限次 的精确运算能得到真解的一类数值方法。从本质上讲，直 接方法的原理是找到一个可逆矩阵 ，使得 是一个上 三角阵，这个过程称为“消元”过程。消元之后再进行 “回代” ，即求解 。实际计算过程中，不必明显 地计算出矩阵 ,而只须把 和 计算出来。这类直接 方法中最基本和最简单的就是 消元法，本章首先讨论 消元法和矩阵分解法，以及 消元法在各种情况下的 变形，并分析其误差。 , , n n n A R b R A AX b = M MA MAX Mb = M Mb GaussGauss MA Gauss 一、引言
二、 Gauss消元法的基本思想 考虑n阶线性代数方程组： ax+a2x2+.+anx=b azx a2x2++aznxn =bz anx1+an2X2+…+amXn=b 用矩阵和向量的记号表示，则有 AX=b (1.2) 其中A=(a,)m为可逆矩阵，X=(xx2,…,xn了，b=(0,b,,b,) 消元法分消元和迭代两个过程，消元过程是将(1.1)化成 为如下形式的上三角方程组：
用矩阵和向量的记号表示，则有 ( ) 其中 A a = ij n n 为可逆矩阵， 1, 2 1 2 ( , , ) , ( , , , ) . T T X x x x b b b b = = n n 消元法分消元和迭代两个过程，消元过程是将(1.1)化成 为如下形式的上三角方程组： 二、 Gauss 消元法的基本思想 考虑 n 阶线性代数方程组： ( ) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1.1 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = AX b = (1.2)
a+aax=b a22x32+…+a2x=b2 (1.3 .... 迭代过程是从(1.3)最后一个方程直接解出xn,x。=b,01am 然后依公式 a,k=n-1,…3,2,1 (1.4 依次求出xn1,x-2,…x2,x,称为回代求解。消元过程的实 质是对增广矩阵(A,b)作一系列初等行变换，最后把A化为上 三角矩阵4”，得(4”，b)，因为对(Ab)每做一次初等行变 换，相当于对方程式组(1.1)进行一次同解变换，所以与，b) 相应的上三角形方程组(1.3)是(1.1)的同解方程组
( ) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 1 1 (2) (2) (2) 22 2 2 2 ( ) ( ) 1.3 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x b + + + = + + = = 迭代过程是从(1.3)最后一个方程直接解出 ( ) ( ) , / , n n n n n nn x x b a = 然后依公式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1, 3,2,1 1.4 n k k k k k kj j kk j k x b a x a k n = + = − = − 1 2 2 1 , , , n n x x x x − − A 依次求出 ，称为回代求解。消元过程的实 质是对增广矩阵 作一系列初等行变换，最后把 化为上 三角矩阵 ，得 ，因为对 每做一次初等行变 换，相当于对方程式组(1.1)进行一次同解变换，所以与 相应的上三角形方程组（1.3）是（1.1）的同解方程组。 ( , ) A b ( ) n A ( ) ( ) ( , ) n n A b ( , ) A b ( ) ( ) ( , ) n n A b
设方程组(1.1)的增广矩阵(A,b)=(4”,b),不妨设 a1≠0，并令m1=a1a州0=2,3，…，n),第一步消元是用m1 乘第一行然后加到第(=2,3，，m行上去，从而把第一列 主对角元以下的元素全化为0，得 aag…a b) (1.5) …a…a2b9 第二步，假设a8≠0，令m2=a21a(i=3,4,,m),于是 用上述方法又可把(1.5)化为
第二步，假设 (2) a22 0, 令 (2) (2) 2 2 22 / ( 3, 4, , ), m a a i n i i = = 于是 用上述方法又可把(1.5)化为 设方程组（1.1）的增广矩阵 (1) (1) ( , ) ( , ), A b A b = 不妨设 a11 0, 并令 (1) (1) 1 1 11 / ( 2,3, , ), m a a i n i i = = 第一步消元是用 mi1 主对角元以下的元素全化为0，得 乘第一行然后加到第 i i n ( 2,3, , ) = 行上去，从而把第一列 (1.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 11 12 1 1 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 , n n n n nm n a a a b a a b A b a a b =