第六节Gauss型求积公式 问题的提出 二、 Gauss型求积公式的构造 三、常用的Gauss型求积公式 四、Gauss型求积公式的余项
第六节 Gauss型求积公式 一、问题的提出 三、 常用的Gauss型求积公式 二、 Gauss型求积公式的构造 四、 Gauss型求积公式的余项
一、问题的提出 为了一般性，考虑积分 1="p(x)f(x)dx (6.1) 其中，p(x)为权函数，当P(x)=1时，即为普通积 分。对任何普通积分g(x)k，都可写成 Jpx)8 P(x 从而都可化成(3.1)形式的积分。 对于(3.1)中的fx),用个不等距节点x,x,…,xm 作插值，则可得到 pr)本AG) (6.2)
一、问题的提出 为了一般性，考虑积分 ( ) ( ) b a I x f x dx = （6.1) 何普通积分 ，都可写成 其中， 为权函数，当 时，即为普通积 分。对任 ( ) x ( ) 1 x = ( ) b a g x dx ( ) ( ) ( ) b a g x x dx x ( ) ( ) 1 ( ). n b k k a k x f x dx A f x = （6.2） n f x( ) 从而都可化成（3.1）形式的积分。 对于（3.1）中的 ，用 个不等距节点 作插值，则可得到 1 2 , , , n x x x
其中 0(x 4=p-x)(】 它不依赖于函数f(x),但可以依赖于权函数ρ(x由于代数精 度的次数是积分公式近似程度的一种量度，所以对于包含同 样节点数的积分公式，自然希望采用一种准确度次数比较高 的积分公式。因为这样可以用同等的代价，获得较高近似度 的计算结果。于是提出如下问题： 能否选择n个节点x,x2,xn和n个系数A,A2,,A。 使得求 积公式(6.2)具有尽可能高的代数精度？ 为了回答这个问题，先固定n值，并设(6.2)的代数精 度为m（待定)，即设(6.2)对所有的m次多项式 Pm (x)=amx"+amx"++ax+ao
其中 ( ) ( ) ( ) ( ) b n k a k n k x A x dx x x x = − 它不依赖于函数 ,但可以依赖于权函数 。由于代数精 度的次数是积分公式近似程度的一种量度，所以对于包含同 样节点数的积分公式，自然希望采用一种准确度次数比较高 的积分公式。因为这样可以用同等的代价，获得较高近似度 的计算结果。于是提出如下问题： f x( ) ( ) x ( ) 1 1 1 0 m m P x a x a x a x a m m m − = + + + + − 1 2 , , , 能否选择 个节点 和 个系数 A A An ，使得求 积公式（6.2）具有尽可能高的代数精度？ 1 2, , , n n x x x n 为了回答这个问题，先固定 值，并设（ n 6.2）的代数精 度为m（待定），即设（6.2）对所有的 m 次多项式 n
是准确的。于是有 P(迟.()k=∑4R() 即 axp()++a后xp()k+apk =A,(a+a++a+a） (6.3)》 ∫xp(x)k=4 则(6.3)成为
是准确的。于是有 ( ) ( ) ( ) 1 n b m k m k a k x P x dx A P x = = 即 ( ) 1 0 ( ) ( ) b b b m m a a a a x x dx a x x dx a x dx + + + 1 1 1 0 1 ( ) n m m k m k m k k k A a x a x a x a − − = = + + + + （6.3） 令 ( ) b i i a x x dx = 则（6.3）成为
am4m+…+a4+ao46= .24+4+…a24+a2（o.4 由于系数am,am-14,4是任意的，故使(6.4)成立的 充要条件是 A+A+…+A,=40 Ax+4x2+…+Axn=4 Ax+++A= (6.5) Axm+x2+nm=m
a a a m m + + + = 1 1 0 0 （6.4） 1 1 1 0 1 1 1 1 n n n n m m m k k m k k k k k k k k k a A x a A x a A x a A − − = = = = + + + + 由于系数 是任意的，故使（6.4）成立的 充要条件是 1 1 0 , , , , a a a a m m− 1 2 0 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n m m m n n m A A A A x A x A x A x A x A x A x A x A x + + + = + + + = + + + = + + + = （6.5）