第二节Gauss--Seidel迭代法 一、 Gass--Seidel迭代格式 二Gauss--Seideli迭代法的收敛性 三、小结
第二节 Gauss Seidel − − 迭代法 一、 Gauss Seidel − − 迭代格式 二 Gauss Seidel − − 迭代法的收敛性 三、小结
一、 Gauss--Seidel迭代格式 考虑方程组 x1=bx+b2x2+…+bnxn+f x2=b2x1+b2x2+…+b2nxn+2, xn=bnx1+…十bnm-xn-1+bmxn+fn 即 -立x+1=2m (2.1)
一、 Gauss Seidel − − 迭代格式 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 1 1 , , . n n n n n n nn n nn n n x b x b x b x f x b x b x b x f x b x b x b x f − − = + + + + = + + + + = + + + + 考虑方程组 1 , 1, 2, , n i ij j i j x b x f i n = = + = (2.1) 即
对方程组(2.1)作迭代时，取定初始近似值 x,x9,…x0 以后，把它们代入(2.1)中第一个方程算出 =b+b2x2+bnx+ 显然，迭代格式收敛的话，则x0比x更接近于 X的第一个分量x所以在计算x时，我们不再像acobi 迭代法那样以x,x9,x9代入(2.1)中第二式的右边 而是把新算出的x”及x,x°，x°代入该式右边，得 到 x0=么x0+bnx0+-bx0+万
以后，把它们代入（2.1）中第一个方程算出 (1) (0) (0) (0) 1 11 1 12 2 1 1 n n x b x b x b x f = + + + + (0 0 0 ) ( ) ( ) 1 2 , , n x x x 对方程组（2.1）作迭代时，取定初始近似值 X 显然，迭代格式收敛的话，则 比 更接近于 的第一个分量 所以在计算 时，我们不再像 迭代法那样以 代入(2.1)中第二式的右边 ， 而是把新算出的 及 代入该式右边，得 到 (1) 1 x (0) 1 x * 1 x (1) 2 x Jacobi (0 0 0 ) ( ) ( ) 1 2 , , n x x x (1) 1 x (0 0 0 ) ( ) ( ) 2 3 , , n x x x (1) (1) (0) (0) 2 21 1 22 2 2 2 n n x b x b x b x f = + + +
即计算下一个分量时，要用到刚算出的新 分量。这样或许能收到更好的效果。按这 样方式建立的迭代格式称为Gauss--Seidel 迭代格式，其一般形式为 x=么x+4x++x,+ w=,x+b2x++bx,+ (2.2 x=bx++b-+bx0+/
即计算下一个分量时，要用到刚算出的新 分量。这样或许能收到更好的效果。按这 样方式建立的迭代格式称为 迭代格式，其一般形式为 Gauss Seidel − − ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 12 2 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 21 1 22 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 1 1 1 , , . k k k k n n k k k k n n k k k k n n nn n nn n n x b x b x b x f x b x b x b x f x b x b x b x f + + + + + + − − = + + + + = + + + + = + + + + (2.2)
用矩阵表示就是 X(k+1)=LX(k+)tux(k)+F (2.3) 其中，L+U=B, 0 0 0 0 0 0 0 0 L= .: : U= 0 0 0 0 由(2.3)式可知， X(k+)-LX(k+)=UX(k)+F 三(I-Z)）X+=X+F
用矩阵表示就是 ( 1) ( 1) ( ) , k k k X LX UX F + + = + + (2.3) 其中， L U B + = , 11 12 1 22 0 0 0 n nn b b b b U b = 21 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 n nn b L b b − = 由（2.3）式可知， ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) k k k k k X LX UX F I L X UX F + + + − = + − = +