第三节 Hermite?插值 一、引言 二、Hermite插值多项式的构造 三、Hermite插值余项 四、小结
第三节 Hermite插值 一、引言 二、Hermite 插值多项式的构造 三、 Hermite 插值余项 四、小结
引言 在实际应用中，有些问题不但要求插值函数在节点 处的值与(x)相等，而且要求插值函数能够光滑地逼 近f(x),因此Larange插值函数往往不能满足实际问题 的需求。这样就需要采取其它方法来构造这种具有一定 平滑程度的插值函数。构造这种插值函数的方法有很多， 最简单的一种方法是Hermite插值法，这种方法不仅要求 提供各插值点的函数值y:而且也给出其导数值。由于所 需要的数据常常不易获得，这种方法不能作为一种插值 技术经常应用。然而，它作为其它数值计算方法的基础 又显的非常重要
一、引言 在实际应用中，有些问题不但要求插值函数在节点 处的值与f（x）相等，而且要求插值函数能够光滑地逼 近f（x），因此Larange插值函数往往不能满足实际问题 的需求。这样就需要采取其它方法来构造这种具有一定 平滑程度的插值函数。构造这种插值函数的方法有很多， 最简单的一种方法是Hermite插值法，这种方法不仅要求 提供各插值点的函数值yi而且也给出其导数值。由于所 需要的数据常常不易获得，这种方法不能作为一种插值 技术经常应用。然而，它作为其它数值计算方法的基础 又显的非常重要
二、Hermite插值多项式的构造 Hermite插值问题的一般提法如下：给出函数f(x)在节点 x(=1,2,…)处的函数值和导数值y和y要求构造一个次数不超 过2n+1次的代数多项式H2m(x)是满足 H(x)=,H(x)=(=0,1,…,n) (4.1 类似于Lagrange插值多项式的构造法，可以设想H(x) 具有如下形式： H)=∑4R+∑B( (4.2)
二、Hermite 插值多项式的构造 Hermite 插值问题的一般提法如下：给出函数 在节点 处的函数值和导数值yi和 ' yi 过 2 1 n + 次的代数多项式 是满足 f (x) x (i n) i =1,2, H (x) 2n+1 ，要求构造一个次数不超 ' ' ( ) , ( ) ( 0,1, , ) H x y H x y i n i i i i = = = (4.1) 类似于Lagrange插值多项式的构造法，可以设想H（x） 具有如下形式： ' 0 0 ( ) ( ) ( ) n n i i i i j j H x A x y B x y = = = + (4.2)
其中A,(x),B,(x)都是2n+1次多项式，且满足条件 A,(x)=0,A(x)=0 (4.3) B,(x)=0,B(x)=6 (4.4)】 显然满足条件(4.3)、(4.4)的多项式(4.2)就是满 足条件(4.1)的2n+1次多项式。 为了构造满足条件(4.3)、4.0的插值多项式4.2)，只需 确定函数A(x)B(x）
其中 ( ), ( ) A x B x j j 都是2 1 n + 次多项式，且满足条件 ' ' ( ) , ( ) 0 ( ) 0, ( ) j i ij j i j i j i ij A x A x B x B x = = = = (4.3) (4.4) 显然满足条件（4.3）、（4.4）的多项式（4.2）就是满 足条件（4.1）的2n+1 次多项式。 为了构造满足条件（4.3）、（4.4）的插值多项式（4.2），只需 确定函数 A (x)B (x) j j
根据条件(4.4)可知，0，X,x,-1,X41,x是B,() 的二重零点，x,是B(x)的一重零点，所以可将B(x)表示为 B(x)=C (x-x)(x-x)(x-x)(x-x((x-x) 由于B,(x)=1,于是有 C,-xx,-xx,-x广-x- 从而得 B()=(-x,(x (4.5)
根据条件（4.4）可知， 是 的二重零点， 的一重零点，所以可将 j j n x , x , x , x , x 0 1 −1 +1 B (x) j B (x) j j x B (x) 是 j 表示为 2 2 2 2 2 0 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B x C x x x x x x x x x x x x j j j j j n = − − − − − − − + 由于 ( ) ' 1, B x j j = 于是有 从而得 2 ( ) ( )[ ( )] B x x x l x j j j = − (4.5) 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j n C x x x x x x x x x x − + = − − − − −