例1、三角函数系 1, cosx,simx,cos2x,sin2x,,cosx,sinx,在区间-元，兀] 上两两正交，因为 cos kx cos jxdx=0,(k≠) sin kxsin jxdx=0,(k≠) cosin ["sin2 hardx [cos"koxdx
例 1 、 三角函数系 2 2 cos cos 0,( ) sin sin 0,( ) cos sin 0 sin cos kx jxdx k j kx jxdx k j kx jxdx kxdx kxdx −−− − − = = = = = 1 ， 在区间 [ -π, π ] 上两两正交 ,因为 cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin , x x x x nx nx
二、正交多项式的性质 设{g(x)}是在[a,b]上带权正交的多项式序列，其中8(x) 表示n次正交多项式： 8n(x)=Anx”++Ax+…+A,(An≠0) (1.8) 若记 n=0,1,2 8(x)=Sm) A 则g(x)的最高次项的系数为1，并且g(x)也是在[a,b上带 权正交的n次多项式。 性质1关于权函数p(x)的任意正交函数系{g(x)}都是线性 无关的
二、 正交多项式的性质 1 0 ( ) ,( 0) (1.8) n n n n g x A x A x A A = + + + + n = 0,1,2 若记 * ( ) ( ) , n n n g x g x A = n 则 的最高次项的系数为1，并且 也是在 上带 权正交的 次多项式。 * ( ) n g x * ( ) n g x [ , ] a b 设 是在 上带权正交的多项式序列，其中 表示 次正交多项式： g x k ( ) [ , ] a b ( ) n g x n 性质1 关于权函数 的任意正交函数系 都是线性 无关的。 ( ) x g x k ( )
事实上，要是Cg(x)++Cg(x)=0,则以px)8,(x)乘等式 的两边并积分，得到C=0(k=0,l,2…,n)由此可知 推论1任何次数不超过n的多项式qx)可由正交多项式 g(x),8(x),,8(x)线性表出，即 9x)=】 (1.9 推论2 任何次数不超过n的多项式9(x)必定同g(x)带权 正交，即 (9(x),8+1(x)=0,(k=0,1,n) 特别地有 (xk,8n(x)=0.(k=0,1,…n
( ) 0 ( ) ( ) 1.9 n k k k q x C g x = = 1 ( ( ), ( )) 0,( 0,1, ) q x g x k n k n+ = = 特别地有 1 ( , ( )) 0.( 0,1, ). k n x g x k n + = = 事实上，要是 则以 乘等式 的两边并积分，得到 由此可知 ( ) ( ) k x g x 0 0 ( ) ( ) 0, C g x C g x + + = n n C k n k = = 0 0,1,2 , . ( ) 推论1 任何次数不超过 的多项式 可由正交多项式 线性表出，即 n q x( ) 0 1 ( ), ( ), , ( ) n g x g x g x 推论2 任何次数不超过 的多项式 必定同 带权 正交,即 n ( ) k q x 1 ( ) n g x +