吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）线性代数综合练习题3

线性代数综合 练习题 (三)

线 性 代 数 综 合 练 习 题 （三）

、填空题： 1、 D月 解：把行列式按第一列展开 D=ac

一、填空题： 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a b a b c d c d 、D= = ； 解：把行列式按第一列展开 0 0 0 0 0 0 0 0 a b b D a c d c a b d c d = −

第一个行列式按第三行展开， 第二个行列式按第一行展开， ad cb (ad-cb) 2、设A为四阶方阵，且R(A)=2,则R(A)=: 解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3 阶子式为零，而A的伴随矩阵A的元素为A的3阶 子式，故A为零矩阵，所以R(A)=0

第一个行列式按第三行展开， 第二个行列式按第一行展开， a b a b ad cb c d c d = − 2 = − ( ) ad cb 2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则 * R A( ) = ； 解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3 阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶 子式，故 为零矩阵，所以R A( )* = 0。 * A * A

3、设向量组01=(1,2,3)， @2=1,1,1),0%3=(1,3,t) 的秩为2，则归 解：对下面矩阵施行初等行变换 1 因为C,C必2，C的秩为2，所以4的秩也为2，故

3、设向量组 的秩为2，则t= ; 3  = (1,3, )t 1  = (1,2,3), 2  = (1,1,1), 解： 对下面矩阵施行初等行变换 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 3 1 0 2 3 0 0 5 A t t t             = − −             − − −       因为 1 2 3    , , 的秩为2，所以A的秩也为2，故 t = 5

4、已知n阶可逆阵A的任意行和 等于2，则4+2A的一个特征值 为 解：因为A的任意行和为2，所以 a 12 即2为A的一个特征值，x=(11…1)】 为对应的特征向量，(？+2A)x=Ax+2A1x =4x+x=5x所以5为+2A的一个特征值

4、已知n 阶可逆阵A的任意行和 等于2，则 的一个特征值 为 ； 2 1 A A2 − + 解：因为A的任意行和为2，所以 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 n n n n nn a a a a a a a a a                =                即2为A的一个特征值， (1 1 1) T x = 为对应的特征向量， 2 1 ( 2 ) A A x − + 2 1 A x A x 2 − = + = + = 4 5 x x x 所以5为 的一个特征值 。 2 1 A A2 − +