第二节 最小二乘拟合多项式 一、最佳平方逼近问题 二、最小二乘拟合多项式
一、最佳平方逼近问题 二、最小二乘拟合多项式 第二节 最小二乘拟合多项式
一、最佳平方逼近问题 最佳平方逼近问题的提法是：设()是[a,]上的连续函数， H是所有次数不超过n的多项式的集合，在H,中求()逼近 f(),使-L-p(s[/-)=V-P 此时称()为f(x)在[a,]上的最佳平方逼近多项式。 我们将要研究P()是否存在？是否唯一？如何求得()
最佳平方逼近问题的提法是：设 是 上的连续函数， 是所有次数不超过 的多项式的集合，在 中求 逼近 ，使 此时称 为 在 上的最佳平方逼近多项式。 我们将要研究 是否存在？是否唯一？如何求得？ a b, n H n P x n ( ) f x( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) 1/ 2 2 2 2 inf n b n n a P x H f P x f x P x dx f P − = − = − H n f x( ) P x n ( ) P x n ( ) a b, f x( ) P x n ( ) 一、最佳平方逼近问题
二、最小二乘拟合多项式 例1 测得铜导线在温度X时的电阻y如下 温度x 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 电阻y 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.9085.10 求电阻少和温度X间的关系
二、最小二乘拟合多项式 例1 求电阻 和温度 x 间的关系。 y 测得铜导线在温度 x 时的电阻 y 如下 k 1 2 3 4 5 6 7 温度x 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 电阻y 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10
解决这类问题通常的步骤如下： (1)用一坐标将X,y值描于图上 (2)凭视觉翹，y）在一条直线 上的两测附近，于是可没X,近 似的成直线关。≈少=ax十b 上面的直线关系称为数学模型。在第飞次观测数据中，少与 实测值y有误差 k=yx-=y-(a+bx),k=1.2,...,n Ek通常称为残差
解决这类问题通常的步骤如下: x y (1)用一坐标将 x ， y 值描于图上 （1） (2)凭视觉知， 在一条直线 上的两测附近，于是可设 ， 近 似的成直线关系。 ( , ) i i x y y x y y ax b = + ˆ 上面的直线关系称为数学模型。在第 次观测数据中， 与 实测值 有误差 k y ˆ k y k k k k k = − = − + = y y y a bx k n ˆ ( ), 1, 2, , 2.1 ( ) k 通常称为残差
它是衡量被确定的参数Q和b(也就是近似多项式 )=a+bx)好坏的重要标志。 确定参数A,b原则： ①使残差绝对值中最大的一个达到最小，即T=maxs为最小 ②使残差绝对值之和达到最小，即∑为最小 ③使残差的平方和达到最小，即∑为最小； 。原则③确定待定参数，从而得到近似多项式的方法，就是 通常所说的最小二乘法
它是衡量被确定的参数 和 （也就是近似多项式 ）好坏的重要标志。 a b y a bx ˆ = + 确定参数 a ， b 原则：， ①使残差绝对值中最大的一个达到最小，即 为最小； ②使残差绝对值之和达到最小，即 为最小； ③使残差的平方和达到最小，即 为最小； max k k T = k k 2 k k ① 原则③确定待定参数，从而得到近似多项式的方法，就是 通常所说的最小二乘法