第三节一般最小二乘逼近问题的提法 一、广义多项式与权系数 二、一般最小二乘逼近问题的提法 三、正规方程组 四、小结
第三节 一般最小二乘逼近问题的提法 四、小结 一、广义多项式与权系数 二、一般最小二乘逼近问题的提法 三、正规方程组
一、广义多项式与权系数 (1)、广义多项式 设函数系{0(x)},k=01,2,,线性无关，则其有限项线性组合 B(∑()称为广义多项式。 例如4+a1cosx+b sinx+…+a,cosnx+b sinnx ae+ae.+ae (2)、“权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
一、广义多项式与权系数 （1）、广义多项式 设函数系 k ( x k ), 0,1, 2, , = 线性无关，则其有限项线性组合 ( ) ( ) 0 n n k k k P x a x = = 称为广义多项式。 例如 0 1 1 cos sin cos sin n n a a x b x a nx b nx + + + + + 0 1 0 1 n k x k x k x n a e a e a e + + + （2）、 “权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
2P.-r》 (3. 替代(2)右端的和式。此处P是任意的正数，通常称之 为权系数，而称(3)为加权和。 二、一般最小二乘逼近问题的提法 (1)、离散型设给定一组数据(x,y),k=1,2.,和一组权 系数AP,An（p>)要求广义多项式P((<m使得 8=A[-R(x门 (32) 最小。这时()称为数据{《x,)}关于权系数{P}的最小二 乘拟合多项式
替代 右端的和式。此处 是任意的正数，通常称之 为权系数，而称 为加权和。 ( ( )) ( ) 2 1 3.1 m k k n k k y P x = − (2.3) k (3.1) 二、一般最小二乘逼近问题的提法 （1）、离散型 设给定一组数据 和一组权 系数 ， ，要求广义多项式 ，使得 ( x y k m k k , , 1, 2 , , ) = 1 2 , , , m (k 0) P x n m n ( )( ) ( ) ( ) 2 1 3.2 n k k n k k y P x = = − 最小。这时 称为数据 关于权系数 的最小二 乘拟合多项式。P x n ( ) ( x y k k , ) k
2、连续型设已知y=f(x)∈C[a,b,权函数p(x)≥0并且 在[a,b]上只有有限个点上P(x)=0。要求广义多项式(x), 使得6=p(x)[P()-f(了 33 最小。这时P(x)称为函数y=f(x在区间[a,b]上关于 权函数P(x)的最小二乘逼近多项式。 注意，(33)可看成(32)中P=p()Ax且max△x4→0 的极限。通常，“最小”也可说成“最优”或“最佳” 可 p(x)≡1Pk≡1 说成“平方”或“均方”；当 或 时，“关于权还 或“关于权系数”的字样，常常略而不提
2、连续型 设已知 ，权函数 ，并且 在 上只有有限个点上 。要求广义多项式 ， 使得 y f x C a b = ( ) , ( x) 0 a b, ( x) = 0 P x n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3.3 b n a = − x P x f x dx 最小。这时 称为函数 在区间 上关于 权函数 的最小二乘逼近多项式。 P x n ( ) y f x = ( ) a b, ( x) 注意， (3.3) 可看成 (3.2) 中 k = (xk )xk 且 max xk →0 的极限。通常，“最小”也可说成“最优”或“最佳” ； “二乘” 可 说成“平方”或“均方”；当 或 时，“关于权函数 或“关于权系数”的字样，常常略而不提。1 ( x) 1 k
离散情形，定义f(x)与(x的内积为 f,8)=∑Pf(x)8(x) (3.4) 连续情形，定义f(x)与8(x)的内积为 (F.g)=["p(x)f(x)g(x)d (3.5) 则由此所引入的范数 V-sl-() V-gl=p()[(x)s()J 便给出了两个函数∫与8之间的“距离”或接近程度的度量。所谓 平方逼近正是按照这种度量方式来规定其逼近概念的。依这 种度量方式，我们可将两种情形下的最小二乘逼近问题统 说成是：
离散情形，定义 f x( ) 与 g x( ) 的内积为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 3.4 m k k k k f g f x g x = = ( , 3.5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a f g x f x g x dx = 连续情形，定义 f x( ) 与 g x( ) 的内积为 则由此所引入的范数 ( ) ( ) 1 2 2 1 m k k k k f g f x g x = − = ( ) ( ) ( ) 1 2 2 b a f g x f x g x dx − = 便给出了两个函数 与 之间的“距离”或接近程度的度量。所谓 平方逼近正是按照这种度量方式来规定其逼近概念的。依这 种度量方式，我们可将两种情形下的最小二乘逼近问题统一 说成是： f g