第二节Newton插值多项式 一、引言 二、差商及其性质 三、Newton插值多项式 四、小结
第二节 Newton 插值多项式 一、引言 二、差商及其性质 三、Newton插值多项式 四、小结
一、引言 Lagrange插值无论在理论分析还是在实际应用上都有重 要的价值。它的缺点是当节点的个数改变时（比如为提高精度 需增加节点)，基函数L(x)(J=0,1,2,·n)要随着改变，而前面 算过的结果不能利用，需要全部重新算起，这在实际计算中 是非常不利的。 由此引入新的插值公式
一、引言 Lagrange 插值无论在理论分析还是在实际应用上都有重 要的价值。它的缺点是当节点的个数改变时（比如为提高精度 需增加节点），基函数 ( ) j L x ( J n = 0,1,2,,L )要随着改变，而前面 算过的结果不能利用，需要全部重新算起，这在实际计算中 是非常不利的。 由此引入新的插值公式
二、差商及其性质 1、差商的概念 设在n+1个互异点xo,x,…xn上的函数值为已知，我们称 k.)--e x-Xj 为f(x)的一阶差商。 一般地，我们把一阶差商的一阶差商 )5)- x一Xx 称为(x)的二阶差商
二、差商及其性质 1、差商的概念 n x , x , Lx 设在 0 1 n + 1 个互异点 上的函数值为已知，我们称 ( ) ( ) ( ) , ,( ) i j i j i j f x f x f x x i j x x − = − 一般地，我们把一阶差商的一阶差商 ( ) ( , , ) ( ) , , ,( ) i j j k i j k i k f x x f x x f x x x i k x x − = − 称为 f (x) 的二阶差商。 为 f (x) 的一阶差商
把n-1阶差商的一阶差商 (,X）=6-西) 称为f(x)的n阶差商。 用归纳法可以证明，n阶差商可表示为函数值(x,)i=1,2,…n 的线性组合，即 xx)= 0a(,） (3.)
把 n −1阶差商的一阶差商 ( ) ( 0 1 1 1 2 ) ( ) 0 1 0 , , , , , , , , n n n n f x x x f x x x f x x x x x − − = − 称为 f (x) 的 n 阶差商。 用归纳法可以证明，n阶差商可表示为函数值 的线性组合，即 ( )i f x i =1,2, Ln ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 , , n j n j n j f x f x x x = x + = ( 3.1)
实际计算中，常利用如下形式的差商表： f(x) 阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 Xo f(x) X f(x) f(xox) f(x2) f(x,x2) (o,,x f(x,) f(x2,x;) f(x1,x2,x) (xo,x XA f(x4） f(x3,x） f(x2,x3,x4) f(X,…,x4） f(X0,…,x4
实际计算中，常利用如下形式的差商表： 0 x ( ) 0 f x 1 x f x( 1 ) fxx ( 0 1 , ) 2 x f x( 2 ) ( ) 1 2 f x x, f x x x ( 0 1 2 , , ) 3 x ( ) 3 f x ( ) 2 3 f x x, f x x x ( 1 2 3 , , ) f x x ( 0 3 , , ) 4 x f x( 4 ) f x x ( 3 4 , ) f x x x ( 234 , , ) f x x ( 1 4 , , ) ( ) 0 4 f x x , , x f x( ) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商