第五节 样条函数插值 一、样条函数的概念 二、三次样条函数插值 三、小结
第五节 样条函数插值 三、小结 一、样条函数的概念 二、三次样条函数插值
一、样条函数的概念 样条是绘图员用来画光滑曲线的一种细木条（或细金属 条)。用它可把一些指定点连成一条光滑曲线。样条函 数是对绘图员描绘的样条曲线进行数学模拟后，得出的 函数。 其特征为 (1)是分段多项式； (2)各段多项式之间具有某种联接性质
一、样条函数的概念 样条是绘图员用来画光滑曲线的一种细木条（或细金属 条）。用它可把一些指定点连成一条光滑曲线。样条函 数是对绘图员描绘的样条曲线进行数学模拟后，得出的 函数。 （1）是分段多项式； （2）各段多项式之间具有某种联接性质。 其特征为
数学描述： 设在[a,b]上给定一个分划： π：a=X0<x<…<xn∈b 若函数S(x)具有如下性质： (1)S(x)在每个小区间[x-,x](k=1,2,,n)上是m次多项式： (2)S(x)及其直到m-1阶导数在[a,b]上连续，则称S(x 是关于分划π的m次样条函数，也记为S.（x)。 若S(x)还满足条件 SP(a+)=SP(b-0),p=0,1,…,m-1 则S(x)称为以(b-a)为周期的样条函数。 本节仅限于使用三次样条函数
设在 a b, 上给定一个分划： 数学描述： 0 1 : n a x x x b = = 若函数 S x( ) 具有如下性质： （1） S x( ) 在每个小区间 x x k n k k −1 , 1,2, , ( = ) 上是m次多 项式； （2） 及其直到 阶导数在 上连续，则称 是关于分划 的 次样条函数，也记为 。 S x( ) m −1 a b, S x( ) m S x m ( ) 若 S x( ) 还满足条件 ( ) ( ) ( ) ( 0 , 0,1, , 1. ) p p S a S b p m + = − = − 则 S x( ) 称为以 (b a − ) 为周期的样条函数。 本节仅限于使用三次样条函数
二、三次样条函数插值 1、问题的提法 设y=f(x)在点xx,,xn的值为，，， 求关于分划π的三次样条函数S(x,使之满足 S(x)=y,i=01,n(5.1 此时称S(x)为y=f(x)的三次样条插值函数。 可以看出，这一插值问题既保留了低次多项式在 表达式上的简便性，又克服了它们的不灵活性、不稳 定等缺点。因此，适合于数值运算的需要
1、 问题的提法 设 在点 的值为 ， 求关于分划 的三次样条函数 ，使之满足 y f x = ( ) 0 1 , , , n x x x 0 1 , , , n y y y S x( ) 二、三次样条函数插值 此时称 S x( ) 为 y f x = ( ) 的三次样条插值函数。 可以看出，这一插值问题既保留了低次多项式在 表达式上的简便性，又克服了它们的不灵活性、不稳 定等缺点。因此，适合于数值运算的需要。 S(x ) y i n i = i , = 0,1, (5.1)
2、三次样条插值函数的构造 (1)、从二阶导数出发构造S(x) 由于S(x)在[x-x]上为线性函数，于是由一次 Lagrange插值多项式有 S()=-S(x)+=LS(x) Xk-1-Xk Xk-Xk-1 S"(-)=M-1S"()=Mih=x-x 则有 S6)=-M+M,62
2、三次样条插值函数的构造 (1)、从二阶导数出发构造 S x( ) 由于 在 上为线性函数，于是由一次 Lagrange插值多项式有 S x ( ) x x k k −1 , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k k k k k k k k x x x x S x S x S x x x x x − − − − − − = + − − 令 ( ) ( ) 1 1 , 1, , k k k k k k k S x M S x M h x x − − − = = = − 则有 ( ) k k k k k k M h x x M h x x S x 1 1 ' − − − + − = (5.2)