3-31 复化求积公式 一、引言 二、复化梯形公式
3-3 复化求积公式 一、引言 二、复化梯形公式
一、引言 由于高阶的Newton-Cotes公式不宜使用，而在比较大的 积分区间上采用低阶的Newton-Cotes公式进行计算，精度 又较低，为了提高求积的精度，常把积分区间分成若干相 等的子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后把结果 加起来，这样得到的求积公式叫做复化求积公式或复合求 积公式
由于高阶的Newton-Cotes公式不宜使用，而在比较大的 积分区间上采用低阶的Newton-Cotes公式进行计算，精度 又较低，为了提高求积的精度，常把积分区间分成若干相 等的子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后把结果 加起来，这样得到的求积公式叫做复化求积公式或复合求 积公式。 一、引言
二、复化梯形公式 将区间a,bl分成n等分，节点x=a+从，h=(b-a)/n,k=0,l,,n 对每一小区间[x,x] 采用梯形公式，然后相加，则得 I1=edk=e25v,+月 =9La)+o)+2空fax,月=7 (3.1 工称为复化梯形公式，下标n表示将区间n等分。若"(x)在 [a,]上连续，则它的误差为
二、复化梯形公式 将区间[a,b]分成n等分，节点 , ( )/ , 0,1, , k x a kh h b a n k n = + = − = 1 [ , ] k k x x 对每一小区间 + 采用梯形公式，然后相加，则得 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) [ ( ( ) ( ))] 2 k k n n b x k k a x k k h I f x dx f x dx f x f x + − − + = = = = + 1 1 [ ( ) ( ) 2 ( )] 2 n k n k h f a f b f x T − = = + + = （3.1） n T 称为复化梯形公式，下标n表示将区间n等分。若 f x ( ) 在 [ , ] a b 上连续，则它的误差为
EiU]=I-T= h2 (b-a)f"(n) 12台 12 (3.2) 类似地，若把区间2等分，并对每一小区间采用梯形公式， 然后加起来，记为T,则容易推得，T,与T有如下关系 (3.3) 其中 Hn=h∑f 为 Xk.XK+1 的中点，即=(+x (3.3)指出了计算In的递推关系，能在计算机上方便地实现
类似地， 若把区间2n等分， 并对每一小区间采用梯形公式， 然后加起来，记为 T2n ， 则容易推得， T2n 与 Tn 有如下关系 1 2 0 [ ] ( ) ( ) ( ) 12 12 n T n n k k h h E f I T f b a f − = = − = = − − （3.2） 2 1 ( ) 2 T T H n n n = + (3.3) 其中 1 1 0 2 ( ) n n k k H h f x − + = = k k , 1 x x 1 + 2 k x + 为 1 1 2 1 ( ). 2 k k k x x x + + 的中点，即 = + (3.3)指出了计算T2n 的递推关系，能在计算机上方便地实现
三、复化Simpson公式 类似于复化梯形公式，可得 I-1a2/)*4.+8 (3.4 S称为复化Simpson公式，下标n表示将区间Ia,bln等分， 它的误差是 E/n=1-S.=-rasn≤b 2880 (3.5 容易验证Sn与Tn有如下关系： S,=T+ 3
三、 复化Simpson公式 类似于复化梯形公式，可得 ( ) 1 1 1 1 1 0 0 2 1 ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] 3.4 6 k k n n x k k n x k k k I f x dx f x f x f x S + − − + + = = = + + = n S 称为复化Simpson公式，下标n表示将区间[a,b] n等分， 它的误差是 4 (4) ( ) [ ] ( ). 2880 s n n b a E f I S h f a b − = − = − (3.5) 容易验证 Sn 与 Tn 有如下关系： 1 2 . 3 3 S T H n n n = +