第一节Jacobi 迭代法 一、引言 二、 迭代格式的构造 三、Jacobi迭代法的收敛性 四、小结
第一节 Jacobi 迭代法 三 、 Jacobi 迭代法的收敛性 一、引言 二、 迭代格式的构造 四、小结
一、引言 迭代法是解线性代数方程组的另二类重要方法，特别 适于求解系数矩阵为稀疏阵的大型线性代数方程组。它的 基本思想是，从任一初始向量X,出发，按某一规则，逐 次构造一个向量序列{X},当X收敛于X时，使X 是所给方程组的解。于是，就有下列问题需要计论： (1)构造迭代格式； (2)收敛性及误差估计
( ) k X 迭代法是解线性代数方程组的另一类重要方法，特别 适于求解系数矩阵为稀疏阵的大型线性代数方程组。它的 基本思想是，从任一初始向量 出发，按某一规则，逐 次构造一个向量序列 ，当 收敛于 时，使 是所给方程组的解。于是，就有下列问题需要计论： (0) X ( ) k X * X * X (1) 构造迭代格式； (2) 收敛性及误差估计。 一、引言
二、迭代格式的构造 设所给方程组为 X=BX+F (1.1) 其中，B是n阶方阵，F是已知身量，X是未知向量。 任取X0∈R”代入(1.1)的右端，算得的结果记为 X0,再以XD代入(1.1)的右端，算得的结果记为x2, 如此进行下去，便得到迭代格式
任取 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 ，再以 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 ， 如此进行下去，便得到迭代格式 (0) n X R (1) X (1) X (2) X 其中， B 是 n 阶方阵， F 是已知身量, X 是未知向量。 二、 迭代格式的构造 X BX F = + 设所给方程组为 （1.1）
Xk+=BX)+F,k=0,I…, (1.2) 此格式称为Jacobi迭代格式，称B为迭代矩阵。 由此迭代格式可构造出一个向量序列： Xo,X1,X2,…,Xk, 显然，若mX=X”存在，则有 X'=BX'+F (1.3) 即X为(1.1)的解
( 1) ( ) , 0,1 , k k X BX F k + = + = (1.2) 显然，若 存在，则有 ( ) * lim k k X X − = * * X BX F = + (1.3) 此格式称为 Jacobi 迭代格式，称 B 为迭代矩阵。 由此迭代格式可构造出一个向量序列： 0 1 2 , , , , , X X X Xk 即 X * 为（1.1）的解
注：若方程组由下面形式给出 AX =b (1.4) 则需要把它改写成便于迭代的形式(1.1)， 其方法是多种多样的，最一般的方法是将A分 解为两个矩阵之差 A=M-N (15) 其中矩阵M可逆，于是(1.4)成为 X=MNX+Mb (1.6 令B=MN,F=Mb,即得(1.1)
1 1 B M N F M b , − − 令 = = ，即得（1.1）. 注：若方程组由下面形式给出 AX b = (1.4) 则需要把它改写成便于迭代的形式（1.1）， 其 方 法是多种多样的，最一般的方法是将 分 解为两个矩阵之差 A A M N = − (1.5) 其中矩阵M可逆，于是(1.4)成为 1 1 X M NX M b − − = + (1.6)