线性代数综合 练习题 (二)
线 性 代 数 综 合 练 习 题 （二）
填空题 1、四阶方阵A的特征值为 1、3、4、5, 则a,+a2+43十a4= 1A= 2、设A= 小 则存在可逆阵P,使P-1AP=B,其中 D
2、设 1 2 2 3 3 1 A B, = = 则存在可逆阵 P，使 P-1AP=B，其中 P= 。 一、填空题 1、四阶方阵A的特征值为 1、3、4、5， A = 。 11 22 33 44 则a a a a + + + = ；
3、已知四阶行列式D的第三行 元素分别为-1,3,2,0，第 二行元素的余子式依次为5， -2,4,4,则4= 解：因为行列式第三行元素与第二 行元素对应的代数余子式乘积之和 为零，所以有 (-1)x(-5)+3x(-2)+2(-a+0x4=0 解得a=
3、已知四阶行列式D的第三行 元素分别为 -1，3，2，0，第 二行元素的余子式依次为5， -2， a ，4，则 a = 。 解：因为行列式第三行元素与第二 行元素对应的代数余子式乘积之和 为零，所以有 （ ）（ ） （ ） （ ） − − + − + − + = 1 5 3 2 2 0 4 0 a 解得 1 2 a = −
4、已知A是满秩方阵，且 123 AB= 2 4 3 6 则B的秩为 解：因为A为满秩矩阵，所以A可以写成有限个初等 矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B,相当 于对矩阵B进行了有限次初等行变换，而初等变换 不改变矩阵的秩，所以矩阵B的秩等于AB的秩。而 AB的秩为1，所以B的秩为1
1 2 3 2 4 6 , 3 6 9 AB = A 则 B 的秩为 。 4、已知 是满秩方阵，且 解：因为A为满秩矩阵，所以A可以写成有限个初等 矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当 于对矩阵B进行了有限次初等行变换，而初等变换 不改变矩阵的秩，所以矩阵B的秩等于AB的秩。而 AB的秩为1，所以B的秩为1
5、设1是实对称阵A的一个 特征值，且B=-A， 则|B|= 解：B=A3-A=A(AE)(A+E》 B=A 4-E 4+E 又因为1是实对称矩阵A的一个特征值， A-E=0B=0
5、设1是实对称阵 的一个 特征值，且 ， 3 B A A = − 则 B = 。 A 解： ( )( A E+ ) 3 B=A -A=A A-E = − + B A A E A E 又因为1是实对称矩阵A的一个特征值， − = = A E B 0 0