第五章， 相似矩阵及二次型 习题课 术洪亮
第五章 相似矩阵及二次型 习题课 术洪亮
本章中我们主要介绍了 1.方阵的特征值与特征向量 2.相似矩阵，尤其是对称矩阵 的相似矩阵； 3.化二次型为标准形的方法 特别是利用正交变换化二 次型为标准形， 并且给出了一种求正交向量组的方法， 施密特(Schimidt)正交化方法
本章中我们主要介绍了 1. 方阵的特征値与特征向量; 2. 相似矩阵,尤其是对称矩阵 的相似矩阵; 3. 化二次型为标准形的方法, 特别是利用正交变换化二 次型为标准形. 并且给出了一种求正交向量组的方法, 施密特(Schimidt)正交化方法
求一组非零向量a2,&3 使4，a2,两两正交 ,C2,&与c,正交 解 ∴&&2=0：&3=0 即a2,a为方程ax=0的解，其中x= X2 亦即方程x+X2+x?=0 显然，方程组的基础解系为 5=(10-1),52=(01-1)
例1. 2 3 1 , 0 T x x x x x = 1 2 3 即 为方程 的解，其中 = . , 1 1 1 1 2 3 1 2 3 使 ， ， 两两正交 已知 求一组非零向量 ， ， = 2 3 1 1 2 1 3 , 0 0 T T = = 与 正交， ； 解 1 2 (1 0 1 , 0 1 1 ) ( ) T T = − = − 亦即方程 显然，方程组的基础解系为 1 2 3 x x x + + = 0
把基础解系正交化： a2=5, 4,=5- 于是 即为所求
2 1 1 2 2 1 3 2 T = ， = − 把基础解系正交化： . 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 0 1 2 3 即为所求 ， 于是， − − = − − − = − =
例2. 设0是矩阵 的特征值，求α.再求A的其他特征值 解由于0是A的特征值，所以 A=0 而A=2(a-1)=0,从而 a=1 又因为4-E=(2-2)2,故21=0，元2=23=2， 所以，A的其他特征值为2
例2. . . 1 0 0 2 0 1 0 1 0 的特征值，求 再求 的其他特征值 设 是矩阵 a A a A = 2. ( 2) 0 2 2( 1) 0 1 . 0 0 1 2 3 2 所以， 的其他特征值为 又因为 ，故 ， ， 而 ，从而 解 由于 是 的特征值，所以 ， A A E A a a A A − = − = = = = − = = =