第一章纤维化基础知识(2)考虑α:S→Q(S)的Stein分解a(X)分别利用α及对应的Albanese映射泛性质，我们得到h：A→J(C)及g：J(C)一→A，且有以下交换图J(C) =J(C)-由此易知A兰J(C).此时g(C)≥1,故i是嵌入，因此ε=9j是同构，即α(S)=C本章习题习题1.1设：S→C是纤维化，Fi.…,F。是所有奇异纤维，li是F的不可约分支个数，p(S)是数值等价群的秩。证明：p(S)≥2+(li-1).试构造一类纤维化，使得上述不等式等号=1成立。习题1.2设D是f：S→C的水平不可约曲线.证明：存在基变换π：C→C,使得在新纤维中D的原像由截面组成习题1.3设f：S→C是半稳定纤维化．证明：存在映射u：2s/C→ws/C.假设N=cokeru，给出的结构，并计算degN.习题1.4设f：S→C是纤维化，F是S上的局部自由层，证明：fF是局部自由的。举例说明高次正像层RfF未必是局部自由的习题1.5对命题3.4.1中的22类奇异纤维芽作半稳定约化习题1.6证明引理1.4.1的结论习题1.7设wEHo(S,s)是曲面S上的非零全纯1-形式，证明：dw=0习题1.8(Beauville)设f:S→Pl 是半稳定亏格g纤维化,II:S→ S是无分歧覆盖，证明：存在由II诱导的半稳定亏格9纤维化于：S→Pl，使得2g-2=degII.(2g-2)。习题1.9请构造一个局部平凡的纤维化习题 1.10 设f：S→C是亏格g≥2的相对极小纤维化，证明：存在充分大的整数n，使得(Ks+nF)是nef, big的，且h(S,Ks+nF)>0- 17-
第二章整体不变量性质第二章整体不变量性质这一章中，如无特别声明，我们总假设f：S→C是相对极小亏格g≥1纤维化，Fi，·，Fs是所有的奇异纤维，2.1相对不变量的非负性设F是任一纤维，F是F的极小正规交模型.我们定义F的一些数值量，(1) NF = g -pa(Fred), N=g - Pa(Fred);(2)g(F)=g(T),此处T跑遍Fred所有的不可约分支，T是的正规化;(3）I(F)（相应地，I(F)）是Fred（相应地，Fred）的不可约分支个数；(4)对qEF，μg(F)是奇点（F,q)的Milnor数，。是奇点的几何亏格.μP是F上所有奇点的Milnor数总和.这一定义也适用于任何既约曲线，引理2.1.1设B是既约曲线，9EB是奇点，则(1）（Milnor公式[Mil68])μg=20gkg+1，这里kg是B在q附近的局部分支数(2) ([Tan94, 引理1.1) Xtop(B)=2x(OB)+μB.(3)([Tan94,引理1.3)设m是奇点q的重数,α：(B,E)一→(B,q)关于q的一次爆发,E是例外曲线.B与E的交点91...，9r.那么μg(B) =μg(B) + m(m - 1) - (r - 1),i=1μg(B) = μg.(B +E) + m(m 3) + 1,i=1证明我们用(1)证明(2).设B→B是B的正规化，则有Xtop(B) = Xtop(B) -(kg - 1),QEBx(Ob) = x(OB) -Zog,gEBXtop(B) = 2x(Ob).由此立得结论-(3）来自于直接计算，我们留给读者自己证明我们回顾拓扑量eF=Xtop(Fred）-（2-2g).引理1.2.1证明了ef =ep.引理2.1.2（1)eF=2NF+μF=2N+-F此处是F中（-1)-曲线个数(2)([Tan94,引理1.4)0≤Nr≤N≤g.-18-
第二章整体不变量性质(3)(Hirzebruch)μ=l(F)+α(F)-1，此处α(F)是F的复式对偶图中所含的图与回路的总个数，亦称对偶图的第一Betti数，(4) α(F)= Pa(Fred)-g(F).换言之,我们有 g =g(F)+NF+α(F),证明（1）是引理2.1.1的直接推论(2)因为pa(F)≥0,所以N≤g.由相对极小性知，对F中的任一不可约分支T,Ks/cF=KsT≥0,故=Ks/c(F-Fred)因此NF =Ks/c(F-Fred)-Fzed≥0.由(1),为证N≤N，我们只需证μF-μF+F≥0.不失一般性，可设F=1,则由引理2.1.1,立得该不等式.(3）等价于计算欧拉示性数(4)设Fred=T，这里T跑遍所有不可约分支.T是的正规化.由(3)立得rPa(Fred) =Zpa(F) -I(F) +1 + μF=pa() + a(F).推论2.1.1(1)Np=0当且仅当要么F既约，要么F=nFred是亏格1纤维(2)Np=9当且仅当F是极小正规交模型且Fred是由光滑有理曲线构成的树(3)ej≥0,等号成立当且仅当f没有奇异纤维(g>1)，或者每条奇异纤维都是某个光滑椭圆曲线的整数倍(g=1)我们回顾推论1.2.1，degfws/C=Xf定理2.1.1（1)(Fujita[Fuj84]）faws/C是半正定的，即它的任何商层的次数都是非负的.特别地，f≥0.此外，fws/c有一个秩qf的平凡饱和子层，即fws/c=FΦO，F是局部自由层(2）(Parshin-Arakelov，[Par68][Ara71])Xf=0当且仅当于是局部平凡纤维化（g>1)，或者每条奇异纤维都是某个光滑椭圆曲线的整数倍（9=1).证明也可参看[Xia92,86.2,Page130]-下面我们要证明Ks/c的数值正性，为此我们需要做些准备工作.如前所述，在曲线C的一个小邻域V上，向量丛fws/clv=Ovwi④..·@Ovwg这里的基w限制在一般纤维F上，就构成了H(F,wF）的一组基.在F的一点q局部，可设wi|r=h;(t)dt.我们令wFi=(dt)+eHo(F,w+1)：q是F的Weierstrass点当且仅当WFI.wFgwFwFgEH'(F,wP[wF1,t*+,WFg](t) :=！d--wF1 d--wFg在q点等于零，上述表达式可以过渡到整体截面上，因而diu([wF,,wFgl)=a+}Kr就是Weierstrass点的集合，进一步，我们可以将diu(lwF1,,wFgl)延拓为ws/c的局部截面diu([wi，·，wgl).我们可以定义除子D为所有光滑纤维上的Weierstrass点集合的闭包，称为S上的Weierstrass除子，-19-
第二章整体不变量性质命题2.1.1（Arakelov)设Oc()：=det(fws/c).我们有D=gg+ks/c- "2S证明设w二aijw,另一组基(aii在纤维上取常数）.于是j=1[wi,...,w'] = det(a[wi,..,wal.这就诱导了整体态射ao+n)f*Oc(o) -→wso, wi A-Awg→[wi,*,wgl从而诱导正合列8a(9+1)0Os+wsicα f*Oc(-0)-显然div(s）三D.这就得到结论.引理2.1.3设f：S→C是半稳定纤维化，那么Ks/C是nef的。特别地，Ks/c≥0,等号成立当且仅当Xf=0(g>1）或者g=1.证明由推论1.3.1，在某个基变换后，我们可以不妨假设Weierstrass除子D由一些截面截面及纤维分支构成.因此Kg(g + 1),nI,+m,E,+f*,Ks/C=2i=13=1这里I；是纤维分支，E是截面设工是一条不可约曲线.我们分情况讨论(1)如果E，那么ag+s/≥/F≥0.(2)如果是垂直分支，则由纤维的相对极小性，Ks/c=Ks=2pa(T)-2-?≥0(3)如果=E，易知s/c=-2.若2>0,则g(g +1)kKs/cI≥mjF2 +Xf >0,2矛盾！因此Ks/cT≥0如果 K3/c=0, 则K0 = 9(g +1)n;T;Ks/c+ZmjE,Ks/c+(2g-2)xf.1S/C=2j-1i=l其中右式每一项都是非负的，因此这就推出xf=0(g>1),或者g=1.如果xf=0，由Noether公式及ef的非负性，立得Ks/c=0.若g=1,则K/c=0是经■典结果定理2.1.2（Beauville）设f：S→C亏格g≥1相对极小纤维化，则Kx/c是nef的，从而3/c≥0.进一步，若g≥2则Ks/c=0当且仅当Xf=0.证明设元：C→C是f的半稳定约化：由引理1.3.2的证明，我们有K2=Ki + krT+Z+ DT- 20 -
第二章整体不变量性质这里乙是由奇点解消例外曲线构成的有效除子：I跑遍奇异纤维中不被II2收缩的不可约分支D是被收缩循的例外曲线支集构成的既约有效除子设B是S上的不可约曲线.若B垂直，则有相对极小性知KsIcB≥0.今设B是水平曲线由引理2.1.3，我们知道Ks/c是nef的，从而IB·K1≥0.由于Z中的曲线分支都被II2收缩，所以IB.Z=0.注意到D'是垂直的，因此IB·D'=B-II2*D'≥0.这样就有Ks/cB≥0.-定理后半部分证明类似于引理2.1.3的证明.对于非局部平凡的纤维化f：S→C，我们可以定义f的斜率(Slope)入f=K/xf：由诺特公式以及相对不变量的正性，我们显然有以下结论推论2.1.2设于：S→C是亏格g>1的非局部平凡纤维化，那么入≤12。等号成立当且仅当f所有的纤维都光滑、这样的纤维化也称作小平纤维化(Kodairafibration)2.2基变换不等式我们回顾基变换的交换图(1-1)s-PS2-SSxaCSCII2=II'pip2:S2→SII:S--+S以及Ki=pKs/c,K2=IIKs/c.设d=deg元.我们定义Ks/oXefK =- Ks/c-, xx= X1 --en=ef-dd"它们称为π的基变换不变量，显然有Noether公式12x元=K元+er由相对典范除子的数值正性可知K1,K2是nef的.又由引理1.3.2,D=K2-K1≥0落在纤维中，如果Ki=K2，我们就称元是不变基变换（Invariantbasechange)命题2.2.1K≥0，X元≥0证明由=?+KiD+K2D≥立得第一个不等式.注意到fws/=f2*Os,(K1)C f2+Os,(K2)=元*fws/C,服因此我们有xj=degfuws/c≤d.degfuws/c=dxf设qEF是纤维F上奇点，用局部方程f(c,y)=0定义.如果zd=f(a,y)定义的一个孤立曲面奇点是ADE奇点，那么我们就称（F,Q）是d-简单奇点.设dF是π在f（F）上的最大分歧指数，如果f（F）不在分歧点上，或者F既约且它的奇点最差就是dF-奇点，那么我们就说F是元-不变纤维.命题2.2.2设9≥2，以下各命题彼此等价(1)元是不变基变换.- 21 -