第二章整体不变量性质(2) K= 0.(3) X元 = 0.(4)S2相对极小，P1是同构(即S×c正规)，S1上的奇点都是有理二重点(5)于的所有纤维都是π-不变纤维证明月(1)→(2)显然(2)→(1)如果K2=0，那么于是局部平凡的（定理2.1.1及2.1.2)。此时显然元是不变的若K2>0,则KD=K2D=D2=0.由Hodge指标定理可知D=0,即K1=K2(1)→ (3)显然(3)→(1)此时degf2*Os(D)=0.由引理1.1.3知，f2Os(D)=Oc(1)→（4)回顾引理1.3.2的关系式D=K2-Ki=krT +Z + D'T此时D=0显然蕴含S2相对极小(即D=0),kr=0（即S×cC是正规曲面),Z=0.于是Ksa/=K2.设E是奇点解消中例外分支，那么Ksa/cE=K2E=0这表明E是（-2)-曲线.(4)→(1)此时显然有kr=0,D=0.Ks/c=K2-Z.对任何Z中的例外分支E,因为E是（-2)-曲线，所以0=Ks/cE=K2E-ZE，即ZE=0.这就推出Z=0.因此Ki=K2(4)→(5)显然(5)→（4)不失一般性，我们假设f(F)上全分歧.设F2是F在f2：S2→C上对应的原像纤维，我们只需证F2相对极小由假设条件，Ksa/c=K2-Z、Z由（-2)-曲线组成，因此Z2=(K2-Ks/c)Z=0,故Z=0,从而Ksa/C=K2.设E是F的不可约分支，E'是E在F2中的任一严格原像分支，我们有E'Ksa/C=E'K2=Ks/cE≥0.因此E不可能是（-1)-曲线.这表明F2中没有（-1)-曲线.-[Xia92]曾猜测e的非负性.由于这是个局部问题，所以我们不妨考虑以F为中心纤维的局部纤维芽，基变换元在p=f(F)处全分歧，degπ=d.实际上，我们只需要证明deF-eF≥0即可.这一结论被[Tan94]证明命题2.2.3e≥0.进一步，设g≥2，则e元=0当且仅当元是不变基变换设F=nr,这里跑遍F中所有不可约分支，nr是在F中的重数；="I()dr=(d,nr).设Sing(F)是Fred上所有奇点组成的集合.设pESing(F),dp=gcd[dr|pET),Ep =I, (p),引理2.2.1sr是Sing(F)中落在分支T上的奇点个数，我们有(1) Xtop(F2) = Xtop(Fi) +≥ (xtop(Ep) - dp).pESing(F)(2) Xtop(Fi) =Xtop(F) +(dr -1)(xtop(T) - 8r) +Z (dp-1).pESing(F)(3)结合以上二式则有deF -eF =2(d - 1)NF -(dr - 1)(xtop(T)- sr)I- 22 -
第二章整体不变量性质+ (d-1)μp - (Xtop(Ep) -1),pESing(F)证明(1)Xtop(F2) =Xlop(F2 / Ep) +xtop(Ep)pp=Xtop(Fi -ZZpi) +Zxtop(Ep)0-1=Xtop(Fi) +(Xtop(Ep) - dp)D(2) dpXtop(Fi)=Xtop(Fi -Epi) +dypi=lpd,7xtop(r --pi)+dpTpErnSing(F)=P=drXtop(T-p)+dpTpEInSing(F)p= dr(xtop(T) - sr) +Zdp.Ip注意到Xtop(F)=(Xtop(T)-sr)+1,即得等式■P[Tan94]对上述引理的(3)式进行了细致的估计.由于证明过程较为繁琐，我们不再详细讨论，有兴趣的读者不妨直接阅读该文献2.3Arakelov不等式所谓Arakelov不等式即指如下命题定理2.3.1(Arakelov-Faltings)设f：S→C是非局部平凡半稳定纤维化，S是奇异纤维个数，则X≤%(2b-2+ 8).(2-1)2Arakelov不等式的一个更弱形式为推论 2.3.1 (Arakelov[Ara71)Xf<号(2b-2+s).这一节中，我们要证明改进的Arakelov型不等式定理2.3.2设81是那些满足g(F)<9的奇异纤维个数。我们有(2-2)Xf ≤(g -qf)(6 -1+ 81).- 23 -
第二章整体不变量性质进一步，若于是半稳定纤维化，那么我们有X/≤-(26 - 2 + 81).(2-3)2此时s1就是雅可比奇异纤维（Jacobiansingularfber)-即对偶图含有图的纤维-的个数在这一节中，我们首先将证明如下等式定理2.3.32x+(hl1(S)-2qpb-2(1(F) -1))(2-4)=1= (g - qr)(26 - 2) +NF +Z(g - g(F))i=1i=1证明由ej,的定义及Hodge分解，我们有ef = 2 - 4q +2pg + hl1(S) - 4(g 1)(b6-1),Xf = 1- q + pg - (g -1)(b - 1).这样就有2xf - ef = 2q + 2(g -1)(b-1)- h11(S),(2-5)另一方面，由1(F)=I(F)-α(F),我们有ej = NF, +(g - g(F) +(F) - 1),(2-6)i=1i=1i=1结合公式(2-5)和(2-6)，即得(2-4)。为证明不等式(2-2）和(2-3)，我们需要一些引理，引理2.3.1g(F)≥qf证明设F是F的正规化，由Albanese泛性质，我们有映射β：J(F）→Alb(S).考虑Abel簇Q=Alb(S)/Imβ,则可诱导映射α：S→Q.由于J(F)→Q是零映射，所以a(F)是Q中的点.由刚性定理，收缩f所有的纤维.这表明可以通过f分解从而由泛性质进一步诱导了映射：J(C）→Q.我们有以下交换图-J(F)73 Alb(S)Q.J(C)- 24 -
第二章整体不变量性质因为α(S)生成AIb(S)，所以a(S)生成Q.若g(C)=0那么Q等于零换言之，J(F）一Alb(S)是满射.这样g(F）=dimJ(F)≥dimAlb(S)=q若g(C)>0,则Imu=Ima，从而Imu生成了Q.这样J(C)→Q是满射.故g(C) = dimJ(C) ≥ dimQ = q - dimlmβ,即dimImβ≥qf，因此g(F)=dimJ(F)≥dimImβ≥qf命题2.3.1hl1(S)-2qrb-2-)Z(I(F) - 1) ≥ 0. (2-7)i=1证明月考虑分解Ho(2s)=Vi田Vo,这里Vo=f*Ho(2c)，dimVi=qf.设Vo = (a1*.Qb), V = (01,-,0gr),此处诸αi（相应地，诸;）是Vo（相应地，Vi）的一组基向量我们可以定义如下态射h: VV@VV Hl(S)满足h(ay)=aAy,ayeVoViVo&Vi设V2是Pic(S)中由所有纤维中的分支生成的子空间，由陈类定义，我们可以自然诱导态射ci: V2→Hl,1.于是 Imc=1+((F)-1)Claim1.我们断言，对任何丰富除子H，ci(H）Imh+Imc1：事实上，假如HEImh+Imci：我们取一般纤维F.任给aEImh，由h的选取，很容易看到α|F=0.Zariski引理蕴含着βF=0,对任何βEImci成立.因此HF=0,矛盾！Claim2.注意ai^a是Hl.1(C）中某个形式的拉回，而h(C,2c)=h(C,Oc）=1.因此我们可以假设aa=eika1a1.现在我们来证明E=（s)<j,k≤b是可逆的假如存在向量（1,入）≠0使得E·（1，，入)T=0,即入=0，Vi.那么k1=0.换言之，我们有aAa=Eak=0,Vi.kk故有=0亦即=0所以对任何有=0,盾！kkkClaim3.我们断言h是单射.假设h的核中存在非零元，即qfbqbajaiibijaio,=duj=1 =1j=l=1两边外积a,得到q6Eagai,akr=d(uanon).j=l i=1- 25 -
第二章整体不变量性质故得9f6ei,=d(t)j=1 =191b取wk=我们得到=d(）对每个综合上述这些等212式，则推出=由Stokes公式，0=iaikwk(a1wk)(iwk)故aiΛwk=0,即wk=f*k，对某个kEHo(C2c)这样wVonVi,即wk=0,Vk.因此我们得到aijik=0,Vi,k这样Claim2i推出所有的aij都是0.类似地，我们有bij=0,Vi,3.这就与假设矛盾！Claim4.ImhnImci=0.假设存在LEV2满足ci（L)EImhnImci且Ci(L)≠0.设qrbqf6Ci(L)-aijai,+bigaiegj=l i=lj-1 i=1注意到ci(L)是实形式，且h是单射，所以易知ai=bij及ci(L)=β+β+du，此处β=ZaijaiAij=1=1由于=0,所以作为同调类有ββ=β=0.故c(L)c()=β+ββ+d因此L2=( ci(L) ^ci(L) = 2 //βB≥0因为L落在纤维里，所以L≤0.这就推出Jsβ^β=0,即β=0.这样作为同调类就有ci(L) = 0.Claim5.综合上面各论断，我们有hl,1≥1+dimImh+dimImc1，也就是不等式（2-7)．■推论2.3.2如果于是半稳定的，那么我们有X/≤"(26-2+ 81).2证明此时F=F,NF=0,9=g(F)+α(F).(2-2)来自于引理2.3.1和定理2.3.1.?推论2.3.3如果f非半稳定，则Xf ≤(g-q)(6-1+81)证明由N≤9-g(F),我们得到(2-2)作为Arakelov不等式的应用，我们有如下结论定理2.3.4如果C=Pl，且fS→C是半稳定的，那么(9- ) (s1 -4),(2-8)Pg≤2- 26 -