第一章纤维化基础知识证明显然我们只需要考虑局部纤维化的情形设f：S一→△是中心纤维Fo的纤维芽，F。是极小正规交模型，F2是F。在II2拉回的原像纤维.我们令M是F。中所有不可约分支的重数的最小公倍数，由1.3.1，F。中的不可约分支拉回的严格原像分支在F2中都是单重的.剩下的就是验证：S的奇点对应的例外曲线分支在F2中也是单重的设eF。是一个结点，Si的局部方程写为tM=y，这里ni,n是经过q的分支重数.因此这些奇点的例外曲线是一些由（-2)-曲线组成的链由Zariski引理可知，每条这样的（-2)-曲■线在F2中重数为1.定理1.3.2（Kodaira-Parshin构造[Voj88]）设f：S→C在C上有s个临界点，则存在f的基变换元 : C→ C, 满足(1)π在S个临界点上一致分歧，且π在每个分歧点处的分歧指数恰为e;(2)如果g(C)>0,则e可以是任何正整数；如果g(C)=0,则e可以是任何奇数注1.3.1#如果临界点个数s≥3，那么不管C的亏格是多少，我们总能找到一个这样的稳定约化，使得上述e被每条纤维极小正规交模型中的任何分支的重数整除，且e可以任意大([Tan96，定理4.7)以下我们设Ki=p*Ks/℃,K2=IKs/C设T是f2:S2→℃纤维F2中不被1I2收缩的不可约分支，且ⅡI2(T)不是点.令nr是π在f2(T)处的分歧指数，mr是Ⅱl2(T)在像纤维中的重数，lr=gcd(nr,mr).前已证T在纤维F2中的重数恰好是mr/lr.我们定义kr=t(nrmr-nr-mr)+1.引理1.3.2 (Beauville)设π：C→C是f的基变换，则Ksa/= K2-krF-Z,这里Z是由例外曲线构成的有效除子；I跑遍奇异纤维中不被I2收缩的不可约分支；kr定义如上进一步，D=K2-K1≥0,且含在纤维中证明由Ksa/-K2=（Ks.-IKs）-f(K-元*Kc)可知这是一个局部问题，我们不妨考虑局部纤维化情形f：S→△，元：△→△诱导n次根纤维化，即nr=n.于是TeKs-Ks=(- 1) + Z1(mr,n)(Ke-"Ke)=r+Z2(mr,n)T这里Z;都是例外除子.令Z=Z2-Z1，我们即得命题中的表达式设E是任一例外曲线分支.注意到E落在纤维中，故由Zariski引理知Ksa/cE=Ks,E≥-1.又因为p2是极小解消，所以Ks/c≥0.因为K2E=0,TE≥0,所以Ksa/cE≤-ZE,从而ZE≤0.这表明Z≥0是闭链D'=Ksa/a-Ki显然是被p收缩的例外曲线支集构成的既约有效除子，综上，D=■K2-K1≥0是垂直的除子.- 12 -
第一章纤维化基础知识推论1.3.1设f：S→C是半稳定纤维化，那么f2也是半稳定的，且Ksa/c=K2进一步，如果f是相对极小的，那么 f2：S2— 也是相对极小的，即 S2=S,从而Ks/c=degT.KSc证明由引理1.3.1(2)以及Zariski引理，易知f2也是半稳定的．此时kr=0,S2中任一例外曲线分支E都是（-2)-曲线，从而ZE=Ksa/E=0，故Z=0.如果E是f2：S2→C中垂直（-1)-曲线，则-1=Ksa/@E=Ks/C·Il2E这意味着，■II2E是f中垂直（-1)-曲线如果纤维化f：S→C在某个有限平展基变换π：℃→C后得到平凡纤维化，那么我们称于为局部平凡纤维化(Local trivialfibration)，或者解析纤维丛.如果f：S→C在某个基变换后成为平凡纤维化，则称为Isotrivial纤维化，或称为常模映射，1.4Albanese映射这一节中，我们要回顾一下Albanese映射的基础知识．它是处理纤维化问题的一种有效工具.设 S是光滑代数曲面.对每个同调类[M) eHi(S,Z),，我们可以定义H(S,2s)上的映射/ :H(S,2s)C,[w) -→/ a由Stockes定理可知，上述定义是合理的，即不依赖于同调类的选取，这样我们就诱导了如下映射i: Hi(S,Z) →H(S,as), [] -引理1.4.1设q(S）是S的非正则性(1)Keri恰好是Hi(S,Z)的挠子群；(2)rankImi=2q(S).因此H(S,2s)/Imi是复环面（读者自证）我们定义Alb(S）=Ho(S,2s)Y/Imi为S的Albanese簇，可以证明它是一个Abel簇.取定S中的一点po，那么对任意pES,可定义Alb(S)中的元素JP()EAlb(S).显然这里的积分路径只相差Hi(S,Z)中的闭合回路，因此JP（)只相差Imi里的元素，故定义是合理的.这样就诱导了Albanese映射，aα: SAlb(S), p-命题1.4.1设A=Alb(S)，α：S-→A是Albanese映射，a(po)=0.那么(1) Q*:H(A,A)—H(S,2s)是同构.(2)（泛性质）设T是任意Abel，于：X→T是任意映射，使得J(po)=0.那么存在唯一的全纯映射g:A→T使得gα=f.(3)α(S)作为抽象群生成A.-13 -
第一章纤维化基础知识证明(1)设Ho(S,Qs）=Cwi,,wg).令zip)=Jpwi（商去格),那么由A定义可知21,.,2g是A的局部参数坐标.显然有H(A,2A)=Cdz1,..,dg)设之BidziKerat,则有=1q40=a*(Bidzi)=B;d( /wi) =EBwi.Jq=1i=1i=1因此β;=0,Vi.这就证明了α*是单射，由于HO(A.2A)和HO(S.2s)有相同维数，因此α*是同构.(2)由交换图Ho(S, 2s) (- H(T,OT)V4isJ→HI(T,Z).Hi(S,Z)-可诱导g：A→Alb(T)=T，也就是以下交换图SAlb(T)其唯一性直接来自于（3)(3)假设H=(α(S))是α(S)在A中生成的子群.由泛性质，存在映射h：A→H并有交换图（i：H→A包含映射，j：H-Alb(H)=H)Y由此可知H兰A推论1.4.1设f：S→C是纤维化，那么存在Abel簇的满同态g：A→J(C)使下图交换-J(C)这里J(C)是C的雅可比簇命题1.4.2设S是光滑曲面(1) 如果dimα(S)=2, 那么 Pg(S)> 0.(2)如果α(S)=C是曲线，那么C光滑，且α纤维连通，此时Alb(S)=J(C),g(S)=g(C)为证明命题1.4.2，我们需要做一些准备工作，引理1.4.2设hERat(S）是S上的有理函数，且不是常数，那么(1)h诱导了有理映射h：S--+Pl;-14-
第一章纤维化基础知识(2)存在极小次数的解消α：→S,将h提升为全纯映射h：→Pl;(3)考虑h的Stein分解(见以下交换图)，这里ho:C→Pl是有限覆盖，f：S→C纤维连通SS-P如果h不是全纯映射（即≠id)，那么C兰Pl(4)dh不可能是S上的非零全纯1-形式证明(1)div(h)=Ho-H=diu(so)-di(so),这里Ho（H）是h零点（极点）对应的除子部分．于是诱导有理h：S--→IP1,h(a)=[so(a),800(a)].(2)爆发由Ho,H。构成的子线性系中所有基点即得(3）此时S中有水平的（-1)-曲线E，从而诱导有限覆盖f|E:E一C.由Hurwitz公式可知, g(C)=0.(4)dh=da+dy.若dh是全纯1-形式，那么和全纯，推出h全纯，从而h是常数，矛盾！引理1.4.3设0≠wEH(S,2s).如果存在有理函数p,hERat(S)，使得w=hdp.那么存在纤维化f：S→C以及有理函数po,hoERat(C)，满足以下条件：(1)α=hodpo EH(C,2c)是全纯的，从而g(C)>0;(2)=f*Po,h=f*ho,w=f"α证明由引理1.4.2知，h不是常数，diu(h)=Ho-Ho,且有交换图SS--Ph=f*ho=α*h可以看作是上的函数，记div(h）=H-。=div(3o)-diu(3)：同样地可以考虑有理函数=α*，记diu()=Go-G.我们分几步来完成证明。Claim1.Ho≥G+（G)red：这里（G)red指Go的既约部分假设I是G的不可约分支，在G中重数为n.我们只需要证明H。≥（n+1)r即可.设pET是一般的光滑点，的局部方程a=0，=一.注意到o*w=-nh_年是全纯的，这就意味着an+150,即Ho≥(n+1)Claim2.：3-→Pl是全纯的Ho=h*([0,1])=*h([0,1])=*(p1++pk）=Fi++F%显然由—些纤维构成由Claim1知，G落在纤维中，从而由Zariski引理推出G≤0.另一方面，G三Go，所以G%=GGo≥0,故G%Go=G%=0.这表明：→Pl是全纯的Claim3.存在C上有理函数o，使得=f*90.注意到?的纤维都与Go线性等价，且GoF三0.这就表明?的纤维都被f收缩，即存在有-15-
第一章纤维化基础知识限覆盖o：C→Pl使下图交换2Claim4.α=hodpo是全纯的，从而g(C)≥1.进一步由引理1.4.2知，h是全纯的（即α=id)这是一个局部问题.我们不妨设F是任意纤维，T是F中的一条不可约分支，重数为n；设qET是一般的光滑点.f在q处的局部方程可写为t=arn，这里t是p=f(F)的局部坐标.设α=ho(t)dpo(t)= t'dt-u(t), u(0)≠ 0. 于是o*w = hdp = f*(α) = f*(t'dt . u(t)) = nan-1+nvdr : u(r")注意到*w是全纯的，因此n-1+n≥0即≥0.这就证明了α的全纯性■至此，我们完成了证明，引理1.4.4设w1,w2是S上C-线性无关的全纯1-形式，满足w1^w2=0.那么存在纤维化f：S→C以及a1,α2EHo(C,2c),使得wi=f*α1,w2=f*a2.此时显然有g(C)≥2证明在局部邻域上，w1=fida+gidy，w2=f2dr+g2dy。条件wi^w2=0相当于(fi92-f291)da^dy=0,因此可以定义局部有理函数==%。由直接计算可验证的定义不依赖于坐标选取，因此可以延拓为S上的有理函数.因此wi=(w2.由于w1,w2是C-线性无关，所以不是常数.注意到0=dwi=dp^w2,我们有w2=hdp，hRat(S)。由引理1.4.3,存在纤维化f：S→C以及C上有理函数ho,po,使得h=f*ho，Φ=f*po.令ai=pohodpoa2=hodpo■那么我们有wl=f*α1，w2=f*α2.类似于引理1.4.3的证明，可检验α;的全纯性.命题1.4.2的证明。(1)因为q(S）≥2,所以存在线性无关的全纯1-形式w1,w2假设Pg(S)=h(S,2s）=0,则w1^w2=0.由引理1.4.4,存在纤维化f:S→C以及上全纯1-形式a1,α2，使得wi=f*ai.我们有交换图J(C)这里 A:=Alb(S).因为g(C)≥2,所以j是单射.注意到 ha(S)=jf(S)=(C),且α(S)(相应地，j(C))生成A(相应地，J(C),所以h(A)生成J(C),从而h(A)=J(C).因此q(S)≥g(C).取定一组基H°(S,2s）=C(w1，wg(S)).由引理1.4.4可知,w1Λw;=0诱导的纤维化都是相同的，从而wi=*ai，aEH(C,2c).这就推出g(C)≥q(S).因此g(C)=q(S).这样，于*：Ho(C,2c）→H(S,s)是同构，从而h：A→J(C)是有限映射.因此hla(s)：α(S)→J(C)也是有限映射.但是dimα(S)>dimJ(C),矛盾!- 16 -