第一章纤维化基础知识引理1.2.1设D(f)=(F-Fred)，这里F跑遍所有奇异纤维，Fred是F的既约部分(1) 设w e 2c, 则 div(f*w) = f*div(w) + D(f).(2) ci(αs/c) = Ks/c - D(f).(3)存在单态射2sic=ws/c(-D(f)→ws/C.证明(1)局部上设w=h(t)dt,f的局部方程t=f(a,y).这样f*w=h(f(a,y)器da+h(f(a,y))dy.从而di(F") =Z(h(aw)U(z(%)nz(%))) = f*div(w) + div(df)Aau设T是F的某个不可约分支，重数为n，9ET是一般点，在合适的坐标下，f在g处局部方程可写为t=an于是dt=nan-1da，故diu(dflr)=(n-1)这就推出div(df)=(F-Fred)(2)(3)显然.-设ci(S)，c2(S)是曲面S上的第一、第二陈类．从数值上看，有c(S)=K3，c2(S)=Xtop(S).我们可以定义的相对不变量(Relativeinvariants).K := c(S) - 8(g - 1)(b - 1)ef := C2(S) - 4(g - 1)(6 - 1),Xf := x(Os) - (g - 1)(6 - 1),以及相对不规则性qf=q(S）-b.由直接计算可知K=Ks/c.此外，我们也有相对不变量之间的Noether公式12xf = K +ef.此外，人们也常关心以下不变量Sign(S) = K3 - 8x(Os) = K - 8xj它实际上就是H2(S,Q）上相交型的符号差（Signature)，有时也称为拓扑指标（Topologyindex，[Mat90]].对纤维F而言，我们可以定义局部不变量eF=Xtop(Fred)+2g-2，这里Fred指F的拓扑支集，亦称F的既约部分命题1.2.1设Fi，,F。是于的所有奇异纤维，那么ef =eFi=l证明设pi=f(F)(i=1,..,s),C"=C-(p1,..,p}, S"=S-lUF.设f':S→c是诱导的纤维化．由于f'是拓扑纤维丛，所以Xtop(S') = Xtop(C')Xtop(F)这里F是一般纤维利用下述拓扑事实Xtop(S') = Xtop(S) -E Xtop(Fi,red),=1-7-
第一章纤维化基础知识-我们立得结论这一结论的重要性在于：它将整体不变量et的计算转化成了奇异纤维的局部贡献值计算，后者只取决于奇异纤维本身的组合与拓扑结构，研究纤维化的一个主要工具是相对典范层在C上的正像层fws/C.我们首先回顾曲线上向量丛的若干事实引理1.2.2设f：S→C是纤维化，F是S上的局部自由层，(1）（Grauert）如果RfF在C上每一点的茎都有相同的秩，那么它是C上局部自由层(2）（相对对偶公式）R'fFRl-if+(ws/cFV)=Oc.特别地，如果Rif.F及Rl-if（ws/CFV）都是局部自由层，那么RifF(Rl-if.(ws/CFV))(3）(Leray谱序列)(3a) H°(S, F) = H(C, f+F).(3b) H2(S, F) =H(C,RF).(3c）我们有正合列0 H'(C,fF) →H'(S,F) H(C,R'fF)特别地, hl(S, F)= hi(C, fF) + ho(C,R'f.F)4）fF也是局部自由层对局部自由层F来说，在一般情形下，我们不能保证h°（F,F|F）是不依赖于纤维F选取的常数.此时只有单同态fFlp-H°(Fp,FlF)，这里F,=f*(p)。命题1.2.2设b=g(C),qf=q(S)-b.我们有(1) R' fws/c = f+Os =Oc.(2)RlfOs=（fws/c),fws=fws/cwc,以及fws/c都是秩为g的局部自由层(3）同调维数公式(3a) hl(C, R' fws) = 1, h(C, RI fws) = h'(C, fOs) = b.(3b) h(R'f.Os) = ho(frws)= pg(S), h(R' f.Os) = h'(fws) = qf.推论1.2.1deg fg/=+X,≥1.证明这里只讨论V=1的情形，其余情形类似由相对对偶公式及Riemann-Roch定理，我们有deg fws/C =-deg Ri f.Os = -x(R' f.Os) + g(1 -b)又由命题1.2.2（3）得x(R f.Os) = -x(fws) =-x(Os) +1-b.-结合以上二式即得结论-8-
第一章纤维化基础知识在处理具体问题时，将f*ws/c视为一个向量丛，会显得更为方便。粗略地讲，在C的一个小邻域V上，fxws/c ~ U H(Fp,wF,), Fp= f*(p).PEV对一般纤维Fp，H（Fpw）由g个线性无关截面wip,wgp生成向量丛f+ws/c在p处的茎就是向量空间H(Fp,wF,）．因此我们可以将(u1p…，wgp)看成该向量空间的一组标架，而不把它们作为截面来看，不妨记为1pgp)命题1.2.3设出是S上的线丛，则(1）存在自然态射*f一;(2)定义了C上的有理映射更,C:S--+P(f),即有以下交换图P(f.)S-这里P(f*）是相应的射影丛证明（1)来自于f*和f的相伴性质（参看[Hat77,I,page110]).我们以=ws/c为例，从局部上来解释此映射.设qEFp.该映射局部上相当于Os.ip...Os.qwgpOc.pwip..Oc.pwgp(2)fl对应H(）的子空间Ap，则有有理映射,C：F,-+Ap因此诱导了-整体上的有理映射Φ!.C：S-+P(f*).当我们取±=wc时，上述映射称为相对v-典范映射：V=1时也称相对典范映射(Relative canonical map)我们引入相对分歧指数的概念．它在处理超椭圆纤维化的计算中非常有用：设D是S上的任一有效除子.我们定义r(D）：=D2+DKs/C，称为D的相对分歧指数（Relativelyramificationindex).对纤维F中的任何既约不可约分支T,我们有r(T)=2pa(T)-2.由直接计算，我们有命题1.2.4（相对相伴公式）设D是S上的水平既约曲线，：(S,D)→(S,D)是D的正规化，是D上所有奇点的几何亏格之和.那么（fα）I：D→C诱导了一个有限覆盖，其分歧指数恰为r(D)一28.特别地，r(D)≥0,等号成立当且仅当D是截面.对于纤维化曲面上的除子线性系，可以作适当的分析这里先回顾一些一般性的事实，具体细节可参考[Tan03].设S是代数曲面，D是S上除子，△是零维子概型，deg△=k，是理想层.如果h(S,(D))=h(S,Os(D))k,我们称△对线性系|D|给出了独立性条件，或者说△可以区分△中的点.如果任何次数为K的零维子概型△都对D给出独立性条件，那么我们称|D|是k-可分的(k-separated)，或者（k一1)-veryample.此外我们规定「D「是0-可分的当且仅当h(S,Os(D))=0-9-
第一章纤维化基础知识命题1.2.5（[Tan03)）设L?>4k，|Ks+L|不是k可分的，△是次数不超过k且对Ks+L|不给出独立性条件的极小零维子概型那么存在有效除子D，使得△CD，且满足DL-≤D2,DA<SLA,12这里A是nef的，且不数值等价于0设T≥0,L=nF+T-Ks，这里F是一般纤维，设d=TF，那么我们有以下结论推论1.2.2设f：S一→C是亏格g相对极小纤维化，F是一般纤维，b=g(C).设T E Pic(S), d =TF,满足2(n +2-2b)(d +2-2g)+(T-Ks/c)2>4k如果|nF+T|不是k可分，那么存在D≥0满足(n +2-2b)DF≤ r(D) -DT + k,1DF<(d + 2 - 2g)1.3基变换与稳定约化设f：S→C是亏格g纤维化，℃是光滑曲线，元：℃→C是有限态射；S×c℃是纤维积，I:S×cC→S是相应态射；Pi:Si→S×cC是S×cC的正规化，P2:S2→Si是Si的极小奇点解消；p：S2一→S是相对极小模型.我们有以下交换图- S1SxcCS-(1-1)1C-C我们称元：℃→C为基变换(Basechange)，于为f在基变换π：C→C下的拉回.设是C上临界点全体构成的集合.如果元在上不分歧，则称元是一个-基变换或好的基变换.以下我们总设Ⅱ2=IⅡI'p1P2:S2→S,II：S--+S是交换图1-1诱导的有理映射.基变换实质上可以归结为局部情形，即在C的局部小邻域上构造基变换.我们首先引入局部纤维化的概念.设f：S→△是从复曲面S到单位圆盘△={tECIIt<1)的可分全纯满射，使得F=f-1(t)是亏格9≥1的光滑曲线，VtE△*=△-{0)：f称为局部纤维化，或亏格g曲线之退化(Degeneration)，Fo=f-1(O)称为中心纤维，有时我们也称该曲线退化为Fo的纤维芽(Fibergerm).若该曲线退化不含（-1)-曲线，则谓之极小。若对另一曲线退化f：S→△"存在同胚H：S→S及h：△→△,使得h(O)=0且hf=fH,则称f与f拓扑等价一般说来，具有相同中心纤维的曲线退化不一定拓扑等价，也不一定解析等价设元：A一→A是映射t→tn，即以0E△为全分歧点的局部n次局部循环覆盖元：△→△给出了局部纤维化的基变换S(n)-p S2-p- SiP- S xA△ -Fny(1-2)1- 10-
第一章纤维化基础知识我们称f(n）：S(n）→△是由基变换元n：△→△诱导的n-次根纤维化（n-throotfibration)此时I：S×△△→S是局部循环Galois覆盖.设qEFo局部坐标（a,y)，f的局部方程可写为f(a,y)=t.因此×△的局部方程为t=f(a,y)进一步，假设Fo中经过q的所有不可约分支为Ti，.·,Fr，ni是;在F中的重数.T,在q点的局部方程可写为fi(a,y）=0,从而f(a,y)=ⅡIfm(a,y).我们设dg=gcd(n,n1,,nr)于是de-1tn-f- II(tn/da -e2miv-/dIIr/d),i=lj=0因此Si局部上分解为da个彼此同构的n/dg次循环Galois覆盖引理1.3.1设f：S→△是中心纤维Fo的纤维芽，f(n)：S(n）→△是n次根纤维化设qEFo，dg定义同上.我们有(1)(II'p1)-1(q)恰有dg个点组成.(2)设I是Fo中的不可约分支，「是「在IⅡI2拉回下严格原像中的不可约分支，设I,I在各自纤维中的重数分别为m,m.那么m=mn)(3)如果Fo=nH是n重纤维，那么Si是非奇异曲面，即Si=S(n)，且S2一→S是无分歧覆盖f(n)：S(n)一△的中心纤维不是重纤维：特别地，单连通纤维不可能是重纤维.证明（1）采用前面的记号.由上讨论已知S1局部上有dg个彼此同构的覆盖：不妨设dg=1.设qiET;是一般点，则(II'pi)-1(qi）有d;=(n,ni)个点.由于ⅡI'pi是n次循环Galois覆盖，所以#(IIp1)-(q)|di，i=1,,r.因此#(II'p1)-1(g)=1.(2)令i=m，=m：设qeT是一般点，在合适坐标下，Si局部上有（n,m）个彼此同构的覆盖，每个局部方程可写为t=m.由此易知T在I()的严格原像中的重数为n.今以F2表示Fo在II2下的原像纤维.由交换图1-2知，nF2= I(Fo) = II2(mT +..) =mnF + ..所以T在F2中的重数为m.-(3)由(1)(2)立得一条相对极小纤维F如果是既约曲线，且F的所有奇点最多是结点，那么我们就称F是半稳定纤维（Semistablefiber），如果一条半稳定纤维不含任何（一2)-曲线，则称之为稳定纤维(Stablefber).如果一个相对极小纤维化f的每条奇异纤维都是半稳定的，那么我们就称其为半稳定纤维化（Semistablefibration）任何相对极小纤维F总是可以通过爆发其上的奇点，最终得到一个只有结点的纤维F，并且F中的任何（-1)-曲线至少要和其他分支相交3个点.这样的F是唯一确定的.我们称之为F的极小正规交模型(Minimalnormal-crossingmodel)定理1.3.1（稳定约化定理，[DM69]，[AW71])设f：S→C是任意纤维化，则存在基变换元：→C,使得拉回的纤维化乎：S→℃是半稳定的：这样的基变换称为于的半稳定约化(Semistable reduction）-11 -