第一章纤维化基础知识直纹面（Ruledsurface）.当g=1时，f称为椭圆纤维化（Ellipticfibration)，而S除了少数情形之外都是椭圆曲面，当9≥2时，如果一般纤维F都是超椭圆曲线，即到射影直线P1上有二次覆盖，那么我们就称f是超椭圆纤维化（Hyperellipticfibration）：否则就称为非超椭圆纤维化（Nonhyperellipticfibration).类似地，如果一般纤维F到射影直线Pl上都有三次覆盖，则称f是三点式纤维化(Trigonalfibration）.亏格2纤维化必定是超椭圆纤维化亏格3非超椭圆纤维化则必定是三点式纤维化，命题1.1.2设F,F是两条纤维，则(1) OF(F) = OF, F2 = 0;(2）若F光滑，则wF=Or(ws)，特别地，我们有2g-2=KsF;(3)F与F数值等价。证明月设pECF,=f*(p）是相应纤维.由Moving引理，可设p=Hi一H2，这里H是C上不含p的非常丰富除子.于是Fp = f*(p) = f*Hi - f*H2 = Fa - FbaEHbeH2由此立得F2=F( Fa- Fb)= 0.EH,beHa同样地，OF(F*H)=OF.因此OF(F)兰OF(f*H1)OF(-f*H2)兰OF进一步，由相伴公式可得WF=OF（wgOs（F)）=Or（ws）下面我们证明(3).回顾如下正合列0Z0s00它诱导了上同调正合列Hi(S,Os) s H'(s,Os) 1, H2(s,Z),这里H(S,O）=Pic(S)是Picard群，Imci=NS(S)是由陈类诱导的Neron-Severi群，其数值等价类的集合即构成数值等价类群Num(S).同样地，我们也有正合列H'(C, Oc) ac Pic(C) deg H2(C,Z)这里deg可视为求曲线C上除子的次数。我们记Pico(S）=Imas，Pic(C)=Imac,设F=f*(p),F"=f*(p).我们有以下交换图Hi(S, Os) -s- Pic(S) --NS(S)rt8H1(C, Oc) - Pic(C) → H2(C,Z)因为p-pEPico(C),所以ci(F-F)=ci(f*(p-p))=β(deg(p-p))=0,即ci(F)=ci(F')图亦即F与F'数值等价-2-
第一章纤维化基础知识由上述结论，我们可以再次证明纤维的算术亏格都是9≥mC:是奇异纤维，这里诸C 是互不相同的不可约设Fo=推论1.1.1(Zariski引理）台既约分支，分支重数ni>0(1)对任何纤维F，我们有FCi=0,i=1,.,r.(2)设D=)亡m;C，miEZ.那么必有D2≤0.进一步，D2=0当且仅当D=F，这里是某个有理数，换言之，Fo是半负定曲线证明（1)显然(2)的证明可参考[Art62]，具体如下由(1)知,C? =-12nCaC.ikti又因为D2=mC?+2mimjCiCji=1i<j所以有D?=-(mani+mgni)C;Cj+2mimjCiCjninji<i<jmmiyninjC.Cjninji<j≤0.-显然，2=0当且仅当=（，即D=F=假设n是最大的整数，使得F是整除子.如果n>1，那么这样的F就称为多重纤维（Multiplefiber)，此时n称为F的重数作为Zariski引理的一个简单应用，我们给出以下推论，后面将会用到它推论1.1.2设F是奇异纤维,D,D'是支集落在F中的除子，且D2=D/2=-1,则(1)要么D≥0,要么D≤0(2)假设D≥0D≥0，且它们的支集相交非空，则以下情形之一必定成立（EQ)(a) D≥D',或D'≥D,(b) D + D= F,(c)DΛD'=F,这里DΛD'指不超过D和D'的最大有效除子，(d) D+ D'-DAD'=F.特别地，如果D+D'的支集是负定曲线，那么只有情形（a)出现；且当D≠D'时，恒有DD'= 0.证明（1)设D=D1-D2,这里Di≥0，D2≥0，且两者没有公共分支.今假设D1D2≠0.若D=0,则D1=F，EQ.这就推出D2=0,与假设矛盾！故D≤-1,同理有D3≤-1.于是-1 = (D1 - D2)2≤D+ D2 - 2DD2 ≤ D + D2≤-2-3-
第一章纤维化基础知识矛盾！综上可知要么D≥0，要么D≤0.(2)注意-2±2DD'=(D±D)2≤0,从而-1≤DD≤1.如果(D-D)2=0,则D-D'=F,EQ.于是D≥D,或者D≥D.如果(D+D')2=0,则D+D=FEQ，即情形(b).如果(D1ΛD2)2=0,那么立得情形(c).以下不妨假设(D±D)2<0,即DD'=0,以及(D^D2)2<0.设A=D-DΛDB=D'-DΛD由定义及假设条件，显然有A.B≥0.且A.B无公共分支,(D-A)2<0,(D-B)<0.A=0(相应地,B=0)当且仅当D<D'(相应地,D'≤D)。进一步，如果（D+B)2=0,或者(D'+A)2=0,那就得到情形(d).以下不妨进一步假设A≠0,B+ 0, 且(D +B)2<0, (D'+A)2<0.由于D,D'支集相交，且DD=0.所以DΛD≠0,即A≠D.B≠D.进一步，如果A2=0,则A=F，由于A和B无公共分支，故B=0，与假设矛盾！因此A2≤-1,同理有B2≤-1. 由-2 = (D -D')2 =(A- B)2= A2+B2_ 2AB≤A2 + B2≤-2推出A2=B2=-1,AB=0.结合前面假设条件可知DA≥0, D'B≥0, D'A≤0, DB≤0.另一方面，BD=DD-D(DAD)=-D(DAD)=AD-D=AD+1.这就推出BD≥1，矛盾！-引理1.1.1假设F=nFo是重数为n的重纤维，那么Or(Fo)及Or(Fo)都是n阶挠层。-证明参见[BPV04,引理8.3,page111],或者[Xia92,引理2.4.3],设f:S→C及f'：S→C是纤维化.如果存在双有理映射：S--+S使得下面的交换图成立，ASS-C则称它们是双有理等价的如果f：S→C的任何纤维中都不含有（-1)-曲线，那么我们就称其为相对极小纤维化(Relativelyminimalfibration).一个纤维化命题1.1.3设f：S→C是纤维化，那么(1）总存在一个双有理等价于f的相对极小纤维化，我们称之为相对极小模型(Relativelyminimal model);(2)当g>0时，相对极小模型是唯一的;(3)若b=g(C)>0，那么相对极小当且仅当S是极小曲面-4-
第一章纤维化基础知识证明(1)(3是显然的.下面证明(2)。假设fi：S;→C（i=1,2)是两个不同构的相对极小模型.我们可构造曲面S、使得p：S一S（i=1.2）是一系列爆发，且有交换图S'-2- S2piSi--C设E是S'上的（-1)-曲线，且被p1收缩。不失一般性，我们可以假设E不被p2收缩(否则我们可以用收缩掉E后的新曲面代替S).这样，P2(E)是曲线，记为E2E落在f1P1：S"→C的某个纤维F'中，因此我们可设F'在S,中的像纤维为F(i=1,2)由于S2相对极小且E2F2,所以E2不是(-1)-曲线.因此由p2的定义可知，E>E2=-1.另一方面，由Zariski引理，E≤0,故得E=0,即F2=E2，对某个有理数成立.注意到E是有理曲线，所以E2兰P1由简单计算可知Ks,F2=KsE2=-2，即g=g(F2)=1-从而=1,9=0,与假-设矛盾！从上述证明也可看出，几何直纹面的极小模型不唯一本节最后，我们给出如下结论命题1.1.4设f:S一→C是亏格9纤维化，F是任意纤维，则有h(F,OP)=1, hl(F,Or)=g为证明命题1.1.4，我们需要下面一些关于除子技巧的引理（更多内容可参看[Men88]引理1.1.2设是曲面S上有效除子，是T上的可逆层，且它在的任何不可约分支上的限制都是零次的.假设有非零截面sEH°()，且T=F1+F2，使得1≤是满足8r=0的极大除子，那么我们有IiI2≤0证明考虑正合列08O-LOr8我们得到上同调正合列0 H(T2,(-Ii) Ir) Res H(T,) H(T1, Ir).由T2定义知，sEH(T2.(-Ti)lr)故s诱导单态射s:Or一Or(-Ti).考虑相应正合列0→Or24 0Or(-)→Q→0它诱导了0→Or,(T1) Or→QOr(T1)0.由于Ii是满足slr,=0的极大除子，所以s在I2上的零点集是有限集，从而Supp(Q）≤Diu(s）是有限支集，这样我们有x(± Or2) - x(Or,(T1)) = x(Q Or,(T1)) = h(Q αOr,(T1))-5-
第一章纤维化基础知识另一方面，由Riemann-Roch定理，我们有x(Or2)=x(Or2)+deg±lr,=x(Or2)x(Or,(T1) = x(Or2) + deg Or,(T1) = x(Or,) + Ti2.■因此iT2=-h(Q@Or,(T1))≤ 0.引理1.1.3设T和±满足引理1.1.2的条件，且「是1-连通除子，则h(）≤1.进一步，h（±）=1当且仅当=Or.特别地，我们有h(Or)=1.证明假设存在非零截面sEH°()，考虑I=1+I2同引理1.1.2.由于8≠0,所以T2≠0.引理1.1.2及I的1-连通性迫使I1=0即T2=.又因为4在I的任何不可约分支-上次数为零，所以Q=0（见引理1.1.2).这就推出4Or，从而h°（）=1命题1.1.4的证明.由正合列0Os(-F)OsOF0以及Riemann-Roch定理，我们得到x(OF) = x(Os) -x(Os(-F) =1 - g因此，只需证h(O）=1.假设n是最大整数，使得Fo=F是整除子，我们先证明Fo是1-连通除子，若不然，可设Fo=A+B,A.B≥0,AB≤0.由Zariski引理,2AB=-A2-B2≥0.因此AB=0,A2=B2=0,从而A,B都有Fo的形式.这将推出Fo仍是可除的，即与n的最大性矛盾！因此Fo是1-连通除子，这样，由引理1.1.3知，h°（OF）=1.特别地，对非重纤维来说，该结论成立.因此以下只需考虑重纤维情形对正整数<n,考虑正合列0OF(-kFo)O(k+1)FOkF 0.由于OF(Fo）是n阶挠层(引理1.1.1)，所以h°(OF（-kFo))=0.因此ho(O(h+1)F) ≤ho(OkFo), 1 ≤ k ≤ n - 1.这就推出ho(Or）=h(OF）=1一1.2相对典范层与不变量设f：S→C是相对极小亏格g纤维化，b=g(C).我们可以定义的相对典范层(Relativecanonical sheaf）ws/c=wsf*w，它有时也称为相对对偶层（Relativedualising sheaf).对应ws/c的除子Ks/c=Ks一f*Kc称为相对典范除子(Relativecanonicaldivisor).类似地，也可以定义相对 v-典范层wg/c.利用以下正合列还可定义层2s/C:0f*2c→2sQs/c→0.一般来说，s/C≠ws/c，它甚至不是局部自由的.-6-